Traducción invariante métrica en grupo localmente compacto

Question

Que $G$ sea un grupo localmente compacto en el que existe una medida de Haar, etc...

Ahora debo tomar tal metrisable $G$, y dada la existencia de algunas métricas en $G$, demostrar que existe una traducción invariante métrica, es decir, un % métrica $d$tal que $d(x,y) = d(gx,gy)$ % todos $x,y,g \in G$. ¿Cómo ir sobre esto?

Answer 1

Aunque la respuesta era esencialmente dado en el área de comentarios, creo que es bueno tener la plena prueba aquí. Seguimos en gran medida Bourbaki.

La notación Deje $X$ ser un conjunto. Deje $U$ $V$ ser subconjuntos de a $X \times X$. Definimos $UV$ = {$(x, y) \in X \times X;$ existe $z \in X$ tal que $(x, z) \in U$$(z, y) \in V$}.

Deje $U, V, W$ ser subconjuntos de a $X \times X$. Definimos $UVW = (UV)W$.

Del mismo modo definimos $U^n, n = 1, 2, ...$

Definimos $U^{-1} = \{(x, y) \in X; (y, x) \in U\}$.

Lema Deje $X$ ser un espacio uniforme. Deje $U_n, n = 1, 2, ...$ ser una secuencia de séquitos en $X$. Supongamos $(U_{n+1})^3 \subset U_n$ por cada $n$. Definimos una función de $g:X \times X \rightarrow [0, \infty)$ como sigue.

• Si $(x, y) \in \bigcap U_n$,$g(x, y) = 0$.

• Si $(x, y) \in U_n - U_{n+1}$,$g(x, y) = 1/2^n$.

• Si $(x, y) ∈ X\times X - U_1$,$g(x, y) = 1$.

Deje $(x, y) \in X\times X$. Deje $z_0, z_1, ..., z_p$ ser una secuencia finita de elementos de $X$ tal que $x = z_0, y = z_p$. Entonces $\sum_{i=0}^{p-1} g(z_i, z_{i+1})$ $\geq$ $(1/2)g(x, y)$.

Prueba(Bourbaki): Utilizamos la inducción en $p$. Si $p = 1$, la afirmación es clara.

Supongamos $p > 1$. Deje $a = \sum_{i=0}^{p-1} g(z_i, z_{i+1})$. Desde $g(x, y) \leq 1$ si $a \geq 1/2$,$a \geq (1/2)g(x, y)$. Por lo tanto podemos suponer $a < 1/2$. Deje $h$ = max {$q; \sum_{i=0}^{q-1} g(z_i, z_{i+1}) \leq a/2$}.

A continuación,$\sum_{i=0}^{h} g(z_i, z_{i+1}) > a/2$.

Por lo tanto $\sum_{i=h+1}^{p-1} g(z_i, z_{i+1}) \leq a/2$.

Por la hipótesis de inducción, $(1/2)g(x, z_h) \leq \sum_{i=0}^{h-1} g(z_i, z_{i+1}) \leq a/2$. Por lo tanto

(1) $g(x, z_h) \leq a$

Del mismo modo, $(1/2)g(z_{h + 1}, y) \leq \sum_{i=h+1}^{p-1} g(z_i, z_{i+1}) \leq a/2$. Por lo tanto

(2) $g(z_{h + 1}, y) \leq a$.

Claramente,

(3) $g(z_h, z_{h + 1}) \leq a$

Deje $k$ = min {$k ∈ \mathbb{Z}; k > 0, 1/2^k \leq a$}. Desde $a < 1/2$, $k \geq 2$.

Por (1), (3), (2), obtenemos:

(a) $(x, z_h) \in U_k$.

(b) $(z_h, z_{h + 1}) \in U_k$.

(c) $(z_{h + 1}, y) \in U_k$.

Por lo tanto, $(x, y) \in (U_k)^3 \subset U_{k-1}$

Por lo tanto $g(x, y) \leq 1/2^{k-1} ≦ 2a$. QED

Teorema 1 Deje $X$ ser un espacio uniforme. Supongamos $X$ tiene un sistema fundamental de contables séquitos. Entonces existe un pseudometric $d$ $X$ tal que $d$ es compatible con la estructura uniforme de $X$.

Prueba: Deje $V_n, n = 1, 2, ...$ ser un sistema fundamental de contables séquitos. Por inducción y el axioma de la dependiente de la elección, podemos definir una secuencia de séquitos $U_n, n = 1, 2, ...$ que satisface las siguientes condiciones.

(1) Cada una de las $U_n$ es simétrica, es decir,$U_n = (U_n)^{-1}$.

(2) $U_1 \subset V_1$

(3) $(U_{n+1})^3 \subset U_n \cap V_{n+1}$ por cada $n \geq 1$.

Deje $f(x, y)$ = inf $\sum_{i=0}^{p-1} g(z_i, z_{i+1})$ por cada $(x, y) \in X\times X$, donde $g:X\times X \rightarrow [0, \infty)$ es la función definida en el Lema y el inf es adueñado de cada secuencia finita de elementos de $z_0, z_1, ..., z_p$ $X$ tal que $x = z_0, y = z_p$.

Claramente $f$ es simétrica y satisface la desigualdad de triángulo. Desde $f(x, y) \leq g(x, y)$, $f(x, x) = 0$. Por lo tanto $f$ es un pseudometric.

Por el Lema, $(1/2)g(x, y) \leq f(x, y) \leq g(x, y)$.

Vamos $W_a$ = {$(x, y) \in X\times X ; f(x, y) < a$} para cualquier $a > 0$.

Deje $a > 0$ ser un número real. Deje $k$ ser un entero tal que $k > 0$$1/2^k < a$. Deje $(x, y) \in U_k$. $f(x, y) ≦ g(x, y) ≦ 1/2^k ＜ a$. Por lo tanto $U_k ⊂ W_a$.

Por el contrario, vamos a $k > 0$ ser un número entero. Supongamos $f(x, y) \leq 1/2^{k+1}$. Desde $f(x, y) \geq (1/2)g(x, y)$, $g(x, y) \leq 1/2^k$. Por lo tanto $W_{1/2^{k+1}} \subset U_k$. QED

Teorema 2 Deje $G$ ser un grupo topológico. Supongamos $G$ tiene un sistema fundamental de contables de los barrios de la identidad de $e$. Entonces existe un pseudometric $d$ $G$ tal que $d(x, y) = d(zx, zy)$ cualquier $x, y, z \in G$. Por otra parte $d$ es compatible con la izquierda unform estructura de $G$.

Prueba: Deje $V_n, n = 1, 2, ...$ ser un sistema de barrio de $e$. Podemos suponer que $V_n = (V_n)^{-1}$, $(V_n)^3 \subset V_n$ para cada una de las $n$. Vamos $U_n$ = {$(x, y) \in G\times G ; x^{-1}y \in V_n$} para cada una de las $n$. Para cada $n$, $U_n$ es simétrica y $(U_n)^3 \subset U_n$. $U_n, n = 1, 2, ...$ es fundamental el sistema de séquitos de la izquierda estructura uniforme de $G$.

Deje $f(x, y)$ = inf $\sum_{i=0}^{p-1} g(z_i, z_{i+1})$ por cada $(x, y) \in X\times X$, donde $g:G\times G \rightarrow [0, \infty)$ es la función definida en el Lema y el inf es adueñado de cada secuencia finita de elementos de $z_0, z_1, ..., z_p$ $X$ tal que $x = z_0, y = z_p$.

Por el Teorema 1, $f$ es un pseudometric compatible con la izquierda estructura uniforme de $G$.

Deje $(x, y) \in U_n$. Para cualquier $z \in G$, $(zx)^{-1}zy = x^{-1}y \in V_n$. Por lo tanto $(zx, zy) \in U_n$.

Por el contrario, si $(zx, zy) \in U_n$,$(x, y) \in U_n$. Por lo tanto $g(zx, zy) = g(x, y)$. Por lo tanto $f(zx, zy) = f(x, y)$. QED

Corolario Deje $G$ ser un topológico metrizable grupo. Entonces existe una métrica $d$ $G$ tal que $d(x, y) = d(zx, zy)$ cualquier $x, y, z \in G$. Por otra parte $d$ es compatible con la izquierda unform estructura de $G$.

Prueba: Desde $G$ es metrizable, tiene un sistema fundamental de contables de los barrios de la identidad de $e$. Por lo tanto, por el Teorema 2, existe una pseudometric $d$ $G$ tal que $d(x, y) = d(zx, zy)$ cualquier $x, y, z \in G$. Desde $d$ es compatible con la izquierda estructura uniforme de $G$ $G$ es Hausdorff, $d$ es una métrica.QED

Answer 2

Qué pasa si usted toma el original % métrico $d_0$y define el nuevo sistema de
$d(x,y) = \int_G d_0(gx,gy) d\mu$

$d\mu$ ¿Dónde está la medida de Haar?

La invarianza de la medida implica la invarianza de la integral y por lo tanto de $d$.

EDIT: Como señaló Theo, esto funciona sólo cuando está compacto $G$.