fórmula del ángulo doble iterado -- velocidad de convergencia

Question

Las fórmulas de doble ángulo (101) y (102), combinadas con las mejores aproximaciones lineales a $0$ (103) y (104) pueden utilizarse para estimar $\sin$ o $\cos$ expandiendo una expresión $n$ veces y reduciendo el ángulo a $\frac{\theta}{2^n}$ y luego aplicar la aproximación lineal.

$$ \sin(\theta) = 2\sin\left(\frac{\theta}{2}\right)\cos\left(\frac{\theta}{2}\right) \tag{101} $$ $$ \cos(\theta) = \cos^2\left(\frac{\theta}{2}\right) - \sin^2\left(\frac{\theta}{2}\right) \tag{102} $$

$$ \sin(\theta) \approx \theta \tag{103} $$ $$ \cos(\theta) \approx 1 \tag{104} $$

Parece que converge lentamente, quizás añadiendo un poco de precisión o menos por iteración. ¿Con qué rapidez converge al verdadero valor de $\sin(\theta)$ ?

Aquí hay una muestra que ilustra la convergencia relativamente lenta.

$$ \begin{array}[cc] \;n & \sin_n(1) \\ 0 & 1.0 \\ 1 & 0.9375 \\ 2 & 0.89233017 \\ 3 & 0.86740446 \\ 4 & 0.8545371 \\ 5 & 0.84802556 \\ 6 & 0.84475327 \\ 7 & 0.8431133 \\ \end{array} $$

Answer 1

El error decae como un múltiplo constante de $2^n$ , reduciéndose aproximadamente a la mitad en cada paso.

Para calcular la velocidad, primero ponemos esta estimación en una forma más convencional. Obsérvese que si utilizamos la forma compleja $e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta$ esta estimación se convierte en $e^{i\theta}\approx \left(1+\frac{i\theta}{2^n}\right)^{2^n}$ Así que $$\sin_n(1) = \operatorname{Im}\left(\left(1+\frac{i}{2^n}\right)^{2^n}\right)=\operatorname{Im}\left(\exp\left(2^n\ln\left(1+\frac{i}{2^n}\right)\right)\right)$$ Estima ese logaritmo con la serie de potencias; $\ln\left(1+\frac{i}{2^n}\right)=\frac{i}{2^n}+\frac{1}{2\cdot 2^{2n}}+O\left(\frac1{2^{3n}}\right)$ .
Multiplicar por $2^n$ y exponer para $(\cos 1+i\sin 1)\cdot \left(1+\frac1{2\cdot 2^n}+O(2^{-2n})\right)\cdot (1+O(2^{-2n}))$ . Extraemos la parte imaginaria para $$\sin_n(1)=\sin 1+\frac1{2^n}\cdot\frac{\sin 1}{2}+O(2^{-2n})$$ Ahí está - la tasa de decaimiento precisa del error, incluyendo el factor constante $\frac{\sin 1}{2}$ .

Esto no concuerda con los datos reportados, ya que está fuera de un factor de $2$ . Mirando esos datos, parece que has subestimado el número de pasos para cada estimación en $1$ . (Esto ya está corregido en la pregunta.) Obtengo $$\sin 1=2\sin\frac12\cos \frac12\approx 2\cdot\frac12\cdot 1=1$$ para $n=1$ paso y $$\sin 1= 2\sin\frac12\cos\frac12=4\sin\frac14\cos\frac14(\cos^2\frac14-\sin^2\frac14)\approx 4\cdot \frac14\cdot (1-\frac1{16})=0.9375$$ para $n=2$ pasos.