¿Qué son las transformaciones naturales en las categorías 1?

Question

Es bien sabido que, para muchas categorías concretas (pero de ninguna manera todos ), podemos pensar que los objetos son en sí mismos pequeñas categorías, y los morfismos son los funtores entre estas categorías. Algunos ejemplos son Grp, Ab, Top... Cuando aplicamos una construcción de este tipo, convertimos una categoría 1 en una categoría 2 (estricta, creo). Pero las 2-categorías llevan una estructura extra, concretamente la noción de transformación natural. Cuando volvemos a "descategorizar", ¿a dónde va esta estructura extra?

Puedo resolverlo en algunos casos específicos; por ejemplo, si categorizamos Ab de la manera obvia, no hay transformaciones naturales no triviales. No tengo una caracterización para cuando dos morfismos de grupos son naturalmente isomorfos como funtores entre las categorías subyacentes, aunque tengo una idea de cómo se comporta la cuestión.

¿Existe algún tipo de resultado general sobre cómo son las transformaciones naturales entre morfismos si categorizamos así? ¿Es al menos independiente de cómo realicemos los objetos como pequeñas categorías? (Sospecho que la respuesta a la segunda pregunta es "no", pero no tengo la capacidad de construir un contraejemplo. Sin embargo, espero estar equivocado).

De forma más general, si podemos categorizar una categoría n en una categoría (n+k) olvidando los morfismos superiores, ¿los morfismos superiores bajan a la categoría n de alguna forma agradable?

Answer 1

Dos morfismos de grupos son isomorfos como funtores entre las categorías relacionadas si y sólo si difieren por un automorfismo interno del grupo objetivo. La elección de un isomorfismo particular de tales funtores es equivalente a la elección de un elemento del grupo objetivo tal que la conjugación con este elemento identifique los dos morfismos.

Answer 2

He aquí un contraejemplo para su penúltima pregunta. Sea S un conjunto con más de un elemento y consideremos las dos subcategorías completas de Cat sobre, respectivamente, la categoría única que es la categoría discreta sobre S, y la categoría única que es la categoría codiscreta sobre S. En cada caso, si vemos Cat como una categoría 1, la subcategoría completa resultante tiene un único objeto con endomorfismos Hom(S, S). Sin embargo, si vemos Cat como una categoría 2, la primera subcategoría no tiene transformaciones naturales no triviales y, por tanto, es realmente BHom(S, S), mientras que la segunda tiene una única transformación natural entre dos funtores cualesquiera y, por tanto, es realmente -hasta la 2equivalencia.

La categoría Gato-1 y la categoría Gato-2 son construcciones muy diferentes que, desgraciadamente, suelen tener el mismo nombre. Aunque tienen "los mismos" objetos, sugiero que se piense en sus objetos como si fueran diferentes tipos de cosas. Un objeto de la categoría Cat-the-1 tiene más información que un objeto de la categoría Cat-the-2; podemos hablar de la cardinalidad de su conjunto de objetos, no sólo de la cardinalidad de su conjunto de clases de isomorfismo de objetos. (Esto no debería parecer demasiado extraño, ya que un objeto de la categoría Cat-the-0 es una categoría "específica", de la que podemos hablar del conjunto real de objetos). Dicho de otro modo, un objeto de la categoría Cat-the-1 es un "monoide con muchos objetos", mientras que un objeto de la categoría Cat-the-2 es lo que más a menudo pensamos cuando pensamos en categorías (especialmente las grandes).

En tu ejemplo, has expresado Ab como una subcategoría completa de Cat-la-categoría-1. La subcategoría completa de Cat-the-2-categoría sobre los mismos objetos no es Ab, ya que tiene automorfismos naturales no triviales, como otros han señalado. Sólo se convierte en Ab después de truncar -reemplazar cada Hom-categoría por su conjunto de clases de isomorfismo de objetos. Para Grp, la situación es peor, ya que distintos homomorfismos de grupo pueden ser naturalmente isomorfos como funtores. La forma habitual de reparar esto es trabajar con "categorías puntuales", como se describe en esta página de nlab . Pero, por supuesto, esto es un tipo de estructura extra en una categoría, y si se me permite introducir una estructura extra arbitraria entonces la pregunta es demasiado fácil. De todos modos, no estoy seguro de que uno deba esperar que varias categorías concretas sean naturalmente subcategorías completas de la categoría Cat-the-1 o de la categoría Cat-the-2.