Equivalencia de la cuantificación canónica y la cuantificación integral de la trayectoria

Question

Consideremos el campo escalar real $\phi(x,t)$ en un espacio-tiempo de 1+1 dimensiones con alguna acción, por ejemplo

$$ S[\phi] = \frac{1}{4\pi\nu} \int dx\,dt\, (v(\partial_x \phi)^2 - \partial_x\phi\partial_t \phi), $$

donde $v$ es una constante y $1/\nu\in \mathbb Z$ . (Este ejemplo describe excitaciones de borde sin masa en el efecto Hall cuántico fraccionario).

Para obtener la mecánica cuántica de este campo, hay dos posibilidades:

1. Realizar la cuantificación canónica, es decir, promover el campo $\phi$ a un operador y establecer $[\phi,\Pi] = i\hbar$ donde $\Pi$ es el momento canónicamente conjugado de la Lagrangiana.
2. Utilice la integral de trayectoria de Feynman para calcular todos los valores de expectativa de interés, como $\langle \phi(x,t)\phi(0,0) \rangle$ y olvidarse por completo de los operadores.

Mi pregunta es

¿Son siempre equivalentes los enfoques 1. y 2.?

Me parece que la integral de trayectoria de Feynman es una forma segura de formular una teoría cuántica de campos a partir de una acción, mientras que la cuantización canónica puede fallar a veces.

Por ejemplo, las relaciones de conmutación para el campo $\phi$ en el ejemplo anterior se ve muy raro; es conjugado a su propia derivada $\Pi(x,t) = -\frac{1}{2\pi\nu}\partial_x\phi(x,t)$ . El prefactor ya está un poco desviado. Para que esto tenga sentido, tenemos que cambiar a la transformación de Fourier y considerar los modos de campo negativos como momentos conjugados, $\Pi_k=\frac{1}{2\pi\nu}(-ik)\phi_{-k}$ .

Un ejemplo más serio: me parece que la integral de Feynman proporciona fácilmente una teoría cuántica del campo gauge electromagnético $A_\mu$ mientras que en la cuantización canónica, debemos elegir primero un gauge apropiado y esperar que la cuantización no dependa de nuestra elección.

¿Podría dar un breve argumento de por qué 2. da la teoría cuántica correcta del campo electromagnético? (acción estándar $-\frac1{16\pi} F^{\mu\nu}F_{\mu\nu})$

Answer 1

Este tipo de problemas suele denominarse sistema mecánico restringido. Fue estudiado por Dirac, que desarrolló la teoría de cuantificación restringida . Esta teoría fue formalizada y desarrollada por Marseden y Weinstein hasta llegar a lo que se denomina "reducción simpléctica". En el libro de Marsden y Ratiu se puede encontrar un capítulo especialmente ilustrativo para los sistemas de dimensión finita: "Introducción a la mecánica y la simetría".

Cuando el espacio de fase de un sistema dinámico es un haz cotangente, se pueden utilizar los métodos habituales de cuantificación canónica y la correspondiente integral de trayectoria. Sin embargo, este formalismo no funciona en general para los espacios de fase no lineales. Un ejemplo importante es cuando el espacio de fase está definido por una superficie no lineal en un espacio de fase lineal mayor.

Básicamente, dada una simetría de un espacio de fases, se puede reducir el problema a un espacio de fases más pequeño en dos etapas

1. Trabajar en las "superficies de energía constante" del hamiltoniano que genera esta simetría.
2. Considere sólo los "observables invariables" en estas superficies.

Este procedimiento reduce en 2 las dimensiones del espacio de fase, y la dimensión reducida se mantiene uniforme. Se puede demostrar que si el espacio de fase original es simpléctico, también lo será el espacio de fase reducido.

Tal vez el ejemplo más sencillo sea la eliminación del movimiento del centro de masa en un sistema de dos partículas y trabajar en la dinámica reducida.

Existe un teorema de Guillemin y Sternberg para ciertos tipos de espacios de fase de dimensión finita que establece que la cuantización conmuta con la reducción. Es decir, se puede cuantificar la teoría original e imponer las restricciones en el espacio cuántico de Hilbert para obtener los estados "físicos". O bien, se puede reducir la teoría clásica y luego cuantificar. En este caso, el espacio de Hilbert reducido se obtiene automáticamente. El segundo caso no es trivuial porque el espacio de fase reducido se convierte en una variedad simpléctica no lineal y en muchos casos ni siquiera es una variedad (porque la acción del grupo no es libre).

La mayoría de las aplicaciones de la física tratan, sin embargo, de teorías de campo que corresponden a espacios de fase de dimensión infinita y no hay ninguna contrapartida del teorema de Guillemin-Sternberg. (Hay trabajos que tratan de generalizar el teorema a algunos espacios de dimensión infinita por N. P. Landsman). Pero, en general, la conmutatividad de la reducción y la cuantización se utiliza en la literatura de la física, aunque todavía falta una demostración formal. El ejemplo más conocido es la cuantización del espacio de moduli de las conexiones planas en relación con la teoría de Chern-Simons.

El ejemplo más conocido de dinámica restringida en espacios de dimensión infinita es la teoría de Yang-Mills donde el momento conjugado a $A_0$ se desvanece. Hay que mencionar que existe un enfoque alternativo (y equivalente) para tratar las restricciones y realizar la reducción de Marsden-Weinstein a través de BRST, y esta es la forma habitual en la que se trata la teoría de Yang-Mills. En este enfoque, el espacio de fases se extiende a un supermanifold en lugar de ser reducido. La ventaja de este enfoque es que el supermanifold resultante es plana y se pueden utilizar métodos de cuantificación canónica.

En el caso mencionado del campo escalar, el espacio de fase puede considerarse como un número infinito de copias de $T^{*}\mathbb{R}$ . La relación $\Pi = \partial_x \phi$ es la superficie de restricción. En un recuento ingenuo de las dimensiones del espacio de fase reducido se encuentra que en cada punto del espacio las dimensiones 1+1 del espacio de fase (El campo y su momento conjugado) están totalmente reducidas por la restricción y su generador de simetría. Por lo tanto, nos queda una teoría de "cero dimensiones". No he trabajado este ejemplo, pero estoy bastante seguro de que si este caso se hace con cuidado nos habríamos quedado con un número finito de parámetros residuales. Esto es una señal de que esta teoría es topológica, lo que puede verse a través de la cuantización del coeficiente global".

Actualización:

En respuesta a los comentarios de Greg, aquí hay más referencias y detalles.

Lo siguiente artículo de revisión (Aspects of BRST Quantization) de J.W. van Holten explica la cuantización BRST de la electrodinámica y la teoría de Yang-Mills (teoría de Faddeev-Popov) como sistemas mecánicos restringidos.

Lo siguiente artículo de Phillial Oh . (Classical and Quantum Mechanics of Non-Abelian Chern-Simons Particles) describe la cuantización de un sistema mecánico (de dimensión finita) realizando la reducción simpléctica directamente sin usar BRST. En este caso, los espacios reducidos son órbitas coadjuntas (como los manifiestos de bandera o los espacios proyectivos). La bella geometría de estos espacios es muy conocida y esta es la razón por la que la reducción puede realizarse aquí directamente. Para la mayoría de los espacios de fase reducidos, se carece de tal conocimiento explícito de la geometría. En la teoría de campos, problemas como la cuantización de la teoría bidimensional de Yang-Mills poseen tal descripción explícita, pero para los de mayor dimensión no conozco un tratamiento explícito (además del BRST).

El siguiente artículo de Kostant y Sternberg describe la equivalencia entre la teoría BRST y la reducción simpléctica directa.

Ahora, respecto a la integral de la trayectoria. Creo que la mayoría de los logros recientes de la física se han obtenido mediante la integral de trayectoria, aunque aunque tenga algunos puntos flojos. Puedo referirme a lo siguiente libro por Cartier y Cecile DeWitt-Morette, donde trataron las integrales de trayectoria en variedades simplécticas no planas y, además, formularon la integral de trayectoria oscilatoria en términos de procesos de Poisson.

Hay una referencia muy legible de Orlando Álvarez que describe la cuantización de los coeficientes globales de los términos topológicos en, Commun. Math. Phys. 100, 279-309 (1985)(Topological Quantization and Cohomology). Creo que el Lagrangiano dado en la pregunta puede ser tratado por los mismos métodos. básicamente, la cuantización de estos términos se debe a la misma razón física por la que el producto de las cargas eléctricas y magnéticas de los monopolos magnéticos debe ser cuantizado. Esto se conoce como la condición de cuantificación de Dirac. En la formulación de la integral de trayectoria, se deduce del requisito de que una transformación gauge debe producir un desplazamiento de fase de múltiplos de $2\pi$ . En la cuantización geométrica, esta condición se desprende del requisito de que el haz de líneas de precuantización debe corresponder a una forma integral simpléctica.

Answer 2

Los procedimientos 1 y 2 son equivalentes cuando la acción es cuadrática en el momento, y cuando hay una fijación gauge que produce una teoría de campo cuántica unitaria. La unitaridad no es obvia en la integral de trayectoria, como inmediatamente observó Dirac. Se establece o bien probando la positividad de la reflexión en la integral de trayectoria directamente, o bien pasando a una descripción canónica donde la unitaridad es obvia, porque el hamiltoniano es real.

Es importante señalar que el hecho de que las cantidades de la integral de trayectoria no sean operadores es completamente insignificante . Sus productos no conmutan, y requieren una cuidadosa definición en términos de orden temporal, que se corresponde en todo con las ambigüedades de orden en el formalismo hamiltoniano. Si se quiere pensar en ellos como operadores, se puede, actúan sobre las condiciones de contorno que vienen de la misma manera que los operadores de Heisenberg, porque son sólo los elementos de la matriz de los operadores de Heisenberg. No hay ninguna diferencia en las propiedades de las cantidades en el formalismo de la integral de trayectoria y en cualquier otro formalismo, no se hacen más fáciles en la integral de trayectoria.

Transformación Feynman-Fourier

Para los hamiltonianos que no son cuadráticos en el momento, es más difícil pasar a una integral de trayectoria, la acción cuántica no es igual a la acción clásica. La receta general para pasar a la descripción de Feynman es a través de la integral de trayectoria del espacio de fase:

$$ K(x,y) = \int Dx Dp e^{i\int (p\dot{x} - H(p,q))} dt$$

donde el término $p\dot{x}$ debe interpretarse como $p_t(x_{t+\epsilon} - x_t)$ Es decir, $\dot{x}$ es una diferencia hacia adelante, y H(p,q) está "ordenada normalmente", lo que significa que todos los términos p se conmutan para aparecer primero.

Entonces la forma de Feynman viene dada por la integración del momento. Esto no se puede hacer en forma cerrada en general, por lo que hay muchos ejemplos de hamiltonianos bien comportados cuya descripción lagrangiana no es expresable en forma cerrada, por ejemplo

$$H= p^4 + V(x)$$

y hay ejemplos inversos de lagrangianos agradables cuya forma hamiltoniana no es muy agradable. Daré un ejemplo de este tipo en un minuto. Pero primero, la transformación de Feynman.

Cuando el Hamiltoniano es de la forma

$$H =K(p) + V(x)$$

Entonces la descripción lagrangiana se expresa completamente en términos de la función K' que aparece en esta fórmula:

$$ e^{-K'(v)} = \int e^{-K(p) + i p v} dx$$

Es decir, la transformada de Feynman K' es el logaritmo de la transformada de Fourier de la exponencial de menos la función original. Para ver que esto funciona es sencillo, se rota cada integral sobre p y se hace la integral formalmente usando K'.

Cada transformada de Feynman exactamente expresable es interesante, pero hay muy pocas. En la literatura, hay exactamente una:

$$ K(p) = {1\over 2} p^2 \implies K'(v) = {1\over 2} v^2 $$

Esto se encarga del impulso cuadrático. Si se limita la atención a la literatura publicada, la tabla de integrales de Feynman es así de ridícula. Sin embargo, esto se ocupa de todas las teorías cuánticas de campo habituales, por lo que no es insignificante.

Más transformaciones de Feynman

Dado que la literatura sobre esto es patética, aquí hay algunas transformadas de Feynman no triviales, y la física que describen:

La mecánica cuántica de Cauchy: $$ K(p) = |p| \implies K'(v) = -\log( 1+ x^2) $$

Esta es una buena transformación, porque la integral de trayectoria lagrangiana que se obtiene (en tiempo imaginario) es

$$\int Dx e^{-\int \log(1+|\dot{q}|^2) - V(x)}$$

Esta integral de trayectoria define una integral de trayectoria sobre los vuelos de Levy cuya distribución estable es la distribución de Cauchy. Se puede ver esto mirando la función de propagación entre tiempos adyacentes, da una distribución de Cauchy. Esta integral de trayectoria define la mecánica cuántica de Cauchy. Es un caso especial de

La mecánica cuántica de Levy: $$ K(p) = |p|^\alpha \implies K(x) = - \log( L_\alpha(x) ) $$

Para $0<\alpha<2$ y donde $L_\alpha$ es la distribución estable Levy unitaria para el exponente $\alpha$ . Estos sistemas mecánicos cuánticos se han estudiado en los últimos años, pero su integral de trayectoria no aparece en ninguna parte de la literatura. La integral de trayectoria viene dada por la transformada de Feynman.

Hay toneladas de transformadas de Feynman más interesantes, son el análogo de las transformadas de Legendre en la mecánica clásica, y son igual de útiles.

Prueba de la unitariedad

La integral de trayectoria está bien definida para cualquier teoría estadística euclidiana, pero sólo unas pocas de ellas continúan hasta la mecánica cuántica. Una prueba de unitaridad suele pasar a una formulación hamiltoniana, porque ésta es manifiestamente unitaria.

Un ejemplo de sistema estadístico integral de trayectoria renormalizable no unitario que, por lo demás, está perfectamente bien es

$$\int d^8x |\nabla \phi|^4 + Z|\nabla\phi|^2 + t(\phi)^2 + \lambda \phi^4 $$

Este sistema se estudió en $8-\epsilon$ dimensiones de Mukhamel, porque su expansión épsilon es prácticamente igual a la $4-\epsilon$ ampliación de la $\phi^4$ modelo. En ocho dimensiones, define un punto de segundo orden perfectamente bueno cuando Z y t se ajustan a los valores correctos. Pero la teoría no es en absoluto unitaria: no hay teorías cuánticas escalares que interactúen en 8 dimensiones. Esto puede verse inmediatamente en la representación de Kallen.

Cualquier propagador en una teoría unitaria puede expresarse en el espacio euclidiano como

$$ G(k) = \int ds {\rho(s) \over k^2 - s}$$

Es decir, como una superposición de propagadores ordinarios a diferentes valores $s$ de la masa al cuadrado. $\rho(s)$ es no negativo, porque en tiempo real es la norma del estado creado por el campo cuyo propagador está expresando. Es esta representación la que te dice que los polos de signo equivocado son estados fantasmas.

El ${1\over k^4 + (A+B) k^2 + AB}$ El propagador de puntos de Lifschitz de Mukhamel (con parametrización extraña) es expresable como representación espectral por fracciones parciales:

$$G(k) \propto {1\over k^2 + A} - {1\over k^2 + B}$$

Esta representación espectral de Kallen-Lehman es claramente fantasmal. El caso de los dos polos tiene una función Lehman que es la derivada de una función delta, que tampoco es positiva definida, por límites.

Hay toneladas de teorías euclidianas no unitarias, y para encontrar las unitarias, la formulación hamiltoniana es muy útil. Encontrando un gauge no fantasma y transformando a la forma canónica es como se demuestra que la teoría Gauge es unitaria, por ejemplo.