Una serie cuya convergencia es equivalente a la hipótesis de Riemann

Question

Se afirmó que aquí que la convergencia de la serie $$\sum_{n=2}^\infty \frac{\Lambda(n)-1}{n^{1/2}\log^3 n}\tag1$$ (donde $\Lambda$ es el Función Von Mangoldt ) es equivalente a la hipótesis de Riemann. ¿Es esto cierto? En ese post se ofrecía un enlace al artículo de la Wikipedia sobre la función de Von Mangoldt, que sí no mencionar esto. También, esta página sobre la función de Von Mangoldt en el contexto de la hipótesis de Riemann no hace mención a ello.

Si es cierto que la convergencia de la serie $(1)$ es equivalente a la hipótesis de Riemann, entonces me gustaría tener una referencia para ello.

Answer 1

Oficial de Claymath descripción de la hipótesis de Riemann afirma que la HR es verdadera si $\pi(x) = Li(x)+O(x^{1/2}\log x)$ así que $\psi(x) = x+O(x^{1/2}\log^2 x)$ y he sido bastante descuidado al implicar que la RH es verdadera si $$\sum_{n=2}^\infty \frac{\Lambda(n)-1}{n^{1/2}\log^{\color{red}{3+\epsilon}} n} < \infty\tag{1}$$

como con la suma parcial $$\sum_{n \le x} (\Lambda(n)-1) \frac{1}{n^{1/2}\log^{a} n}=\frac{\psi(x)-x}{x^{1/2}\log^a x}+\sum_{n \le x-1} (\psi(n)-n)O(\frac{1}{n^{3/2}\log^a n})\\ = O(\log^{2-a}(x))+\sum_{n \le x} O(\frac{1}{n\log^{a-2} n})$$

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Se trata de mostrar una fórmula explícita (p.28) $$\psi(x) =\sum_{n \le x} \Lambda(n)= x - \sum_{|\Im(\rho)| \le T} \frac{x^{\rho}}{\rho}+O(\frac{x\log^2 x}{T})=x - \sum_{k\le K} 2\Re(\frac{x^{\rho_k}}{\rho_k})+O(\frac{x\log^2 x}{K/\log K})$$ donde $K = N(T)$ y la densidad de ceros da $K \sim C T \log T,T \sim c K/\log K$ , $\Im(\rho_k) \sim c k/\log k$ .

En esta forma, bajo el RH, con $K = x^{1/2}$ se obtiene $$\psi(x) =x +O(x^{1/2}\log^{2+\delta})$$

El trazado de esas cosas indica que la serie puede converger muy lentamente con $\epsilon = 0$ y es bastante seguro (bajo el RH) que converge con $\epsilon = 2$ .

Answer 2

Un buen punto de partida es la lectura del post de Terry Tao "La hipótesis de Riemann en varios escenarios"