¿Lo que está mal con esta prueba que 2 = 4 utilizando exponenciación infinita?

Question

De aburrimiento, decidí recordar la siguiente ecuación:

$$x^{x^{x\cdots}} = 2.$$

Que, yo simplemente reescribió como este:

$x^2 = 2$, y por lo tanto $x = \sqrt{2}$. Luego eché un vistazo a la más general de la forma:

$$x^{x^{x\cdots}} = p.$$

Yo a la conclusión de que $x = (p)^{\frac{1}{p}}$, y esta fue la solución para todos los $p$. Entonces pensé por un tiempo y se determinó que hay varios valores que esta función es igual a la raíz cuadrada de $2$, por lo que no es inyectiva. Sin embargo, esto llevó a una difícil statemend basa en el hecho de que $\sqrt{2} = (4)^{\frac{1}{4}}$. Podemos deducir lo siguiente:

La ecuación de $x^{x^{x\cdots}} = 2$ y la ecuación de $x^{x^{x\cdots}} = 4$ tienen la misma solución, es decir,$x = \sqrt{2}$. Así llegamos a la conclusión de que $2 = 4$.

Me lo mostró un amigo mío, y él cree que no hay soluciones válidas para todos los $p > e$. Para probar esto, he tratado de escribir lo siguiente:

He intentado diferenciar $f(x) = (x)^{(1/x)}$ y la configuración es igual a $0$ encontrar el máximo. Yo determinó que había un máximo en el punto donde se $x = e$. ¿Esto significa que el máximo posible solución $x$ para el poder infinito es $e^{(1/e)}$ por lo tanto muestra que el valor máximo para $p$ es, de hecho,$p = e$?

Answer 1

En primer lugar usted necesita para determinar qué $x^{x^{x^{\cdots}}}$ medios.

Natural intento de dar sentido a este sería el límite (si existe) de la secuencia $$ 1, ~x,~x^x,~x^{x^x}, ~x^{x^{x^x}}, \ldots $$ que también puede ser escrito como una recurrencia

$$ z_0=1 \qquad z_{n+1} = x^{z_n} $$

Si el límite existe, debe ser un punto fijo del mapa $z\mapsto x^z$, pero eso no significa que cada punto fijo tiene que haber un límite.

En el caso de $x=\sqrt 2$, podemos ver fácilmente que tanto $z=2$ $z=4$ son puntos fijos. La pregunta es que alguno de ellos es el límite de la secuencia. El trazado de la función y el uso de algunos iteración teoría podemos ver que $z=2$ es estable en punto fijo y debe ser alcanzado cuando partimos de $1$, mientras que $z=4$ no es estable -- si $z_n$ está cerca de a $4$, la próxima $z_{n+1}$ menos cerca de $4$.

Ya ha demostrado que SI hay alguna $x$ tal que $x^{x^{\cdots}}=4$ al $x$ debe $\sqrt 2$. Sin embargo, desde la $x=\sqrt 2$ no en el hecho de dar a $4$, entonces la conclusión es que, simplemente, $x^{x^{\cdots}}$ nunca toma el valor 4.