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1 votos

¿Cuál es el valor del radio interior del triángulo PHQ ?

Como referencia: El triángulo rectángulo ABC , justo en B la altura BH está dibujado. Sea P y Q sean las intersecciones de los triángulos AHB y BHC , PQ se cruza en E el BH , donde BEEH=52 y el radio interior del triángulo ABC medidas 10 . Calcular el radio interior del triángulo PHQ .(Respuesta: 1 )

Mi progreso... Es un dibujo complicado... no a escala...

Me ha parecido una pregunta difícil y no he sacado mucho de ella.... Quizás haya alguna relación entre el inradio pero no lo sé

Yo sé esto (por la propiedad): r1+r2+R=BHr1+r2+10=BH

También: MPHNQHr1r2=PHQH

Por Geogebra PQH ¿Está bien? T.Poncelet: PH+HQ=PQ+2r

...

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3voto

S el punto de contacto del círculo ABH con BH. T es el punto de intersección de las rectas PS y QN . Triángulos PES y PQT son correctos y similares. PS=r1 , PT=r1+r2 , QT=r2r1 . Por similitud:

ES=PSQT/PT=r1r2r1r1+r2

EH=ES+SH=r1r2r1r1+r2+r1=2r1r2r1+r2

Por similitud de triángulos AHB , CHB y ABC y el teorema de Pitágoras sigue R2=r21+r222r1r2=(r1+r2)2R2EH=r1+r2R2r1+r2

BH=BE+EH=52EH+EH=EH(52+1)

También BH=r1+r2+R entonces

r1+r2+R=(r1+r2R2r1+r2)(52+1)

Dejemos que r1+r2=xR entonces

x+1=(x1x)(52+1)x=(x1)(52+1)x=1+210

El radio del círculo del triángulo tectangular PHQ es PH+HQPQ2=r12+r222r21+2r222=R2 x12=R10=1

La respuesta se transformará en 2 si se cambia 52 a 52 .

2voto

Math Lover Puntos 113

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Como PHQ=90 y HE es su bisectriz del ángulo, el incentro de PHQ debe estar en el segmento HE . Lo marcamos como I .

A continuación, observamos que PM=MH=r1 y QN=NH=r2 . Eso lleva a PH=r12,QH=r22 .

Como AHBBHC y son triángulos rectángulos, sus inradios deben estar en la proporción de su hipotenusa.

Así que, r1r2=ca  . Pero en el triángulo rectángulo PHQ También tenemos PHHQ=r1r2 .

Así que, PHQABCAHBBHCHPQ=A .

Si r es el radio interior de PHQ , HI=r2

Utilizando la similitud de triángulos,

AHr1=PHrAH=2r21r . De la misma manera, CH=2r22r

Añadiendo, AC=2(r21+r22)r2=PQ2r2ACPQ=PQr2

Como ACPQ=10r,PQ=102

PH+HQPQ=2r2(r1+r2)102=2r . Utilizando r1+r2=BH10 obtenemos  BH20=2r .

Dado PI es la bisectriz del ángulo de HPE y BPI=90 por lo que se deduce que el lápiz P(HE,IB) es armónico. Así que tenemos,

HIIE=HBBE

HIHEHI=1+152

(102+1)HI=(52+1)HE=BH

(20+2)r=BH=20+2r

r=1

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