¿Cuál es el valor del radio interior del triángulo $PHQ$ ?

Question

Como referencia: El triángulo rectángulo $ABC$ , justo en $B$ la altura $BH$ está dibujado. Sea $P$ y $Q$ sean las intersecciones de los triángulos $AHB$ y $BHC$ , $PQ$ se cruza en $E$ el $BH$ , donde $\frac{BE}{EH} = 5\sqrt2$ y el radio interior del triángulo $ABC$ medidas $10$ . Calcular el radio interior del triángulo $PHQ$ .(Respuesta: $1$ )

Mi progreso... Es un dibujo complicado... no a escala...

Me ha parecido una pregunta difícil y no he sacado mucho de ella.... Quizás haya alguna relación entre el inradio pero no lo sé

Yo sé esto (por la propiedad): $ r_1+r_2+R = BH\\ r_1+r_2+10 = BH$

También: $\triangle MPH \sim \triangle NQH \implies\\ \frac{r_1}{r_2} = \frac{PH}{QH}$

Por Geogebra $\triangle PQH$ ¿Está bien? $\implies$ T.Poncelet: $PH+HQ = PQ+2r$

...

Answer 1

$S$ el punto de contacto del círculo ABH con BH. $T$ es el punto de intersección de las rectas $PS$ y $QN$ . Triángulos $PES$ y $PQT$ son correctos y similares. $PS=r_1$ , $PT=r_1+r_2$ , $QT=r_2-r_1$ . Por similitud:

$$ES=PS\cdot QT/PT=r_1\frac{r_2-r_1}{r_1+r_2}$$

$$EH=ES+SH=r_1\frac{r_2-r_1}{r_1+r_2}+r_1=\frac{2r_1r_2}{r_1+r_2}$$

Por similitud de triángulos $AHB$ , $CHB$ y $ABC$ y el teorema de Pitágoras sigue $$R^2=r_1^2+r_2^2\Rightarrow 2r_1r_2=(r_1+r_2)^2-R^2\Rightarrow EH=r_1+r_2-\frac{R^2}{r_1+r_2}$$

$$BH=BE+EH=5\sqrt{2}\cdot EH+EH=EH(5\sqrt{2}+1)$$

También $BH=r_1+r_2+R$ entonces

$$r_1+r_2+R=\left(r_1+r_2-\frac{R^2}{r_1+r_2}\right)(5\sqrt{2}+1)$$

Dejemos que $r_1+r_2=xR$ entonces

$$x+1=\left(x-\frac{1}{x}\right)(5\sqrt{2}+1)\Rightarrow x=(x-1)(5\sqrt{2}+1)\Rightarrow x=1+\frac{\sqrt{2}}{10}$$

El radio del círculo del triángulo tectangular $PHQ$ es $$\frac{PH+HQ-PQ}{2}=\frac{r_1\sqrt{2}+r_2\sqrt{2}-\sqrt{2r_1^2+2r_2^2}}{2}=R\sqrt{2}\ \frac{x-1}{2}=\frac{R}{10}=1$$

La respuesta se transformará en 2 si se cambia $5\sqrt{2}$ a $\frac{5}{\sqrt{2}}$ .

Answer 2

Como $\angle PHQ = 90^\circ$ y $HE$ es su bisectriz del ángulo, el incentro de $\triangle PHQ$ debe estar en el segmento $HE$ . Lo marcamos como $I$ .

A continuación, observamos que $PM = MH = r_1$ y $QN = NH = r_2$ . Eso lleva a $PH = r_1 \sqrt2, QH = r_2 \sqrt2$ .

Como $\triangle AHB \sim \triangle BHC$ y son triángulos rectángulos, sus inradios deben estar en la proporción de su hipotenusa.

Así que, $ \displaystyle \frac{r_1}{r_2} = \frac{c}{a} ~ $ . Pero en el triángulo rectángulo $\triangle PHQ$ También tenemos $ \displaystyle \frac{PH}{HQ} = \frac{r_1}{r_2}$ .

Así que, $\triangle PHQ \sim \triangle ABC \sim \triangle AHB \sim \triangle BHC \implies \angle HPQ = \angle A$ .

Si $r$ es el radio interior de $\triangle PHQ$ , $HI = r \sqrt2$

Utilizando la similitud de triángulos,

$ \displaystyle \frac{AH}{r_1} = \frac{PH}{r} \implies AH = \frac{\sqrt2 r_1^2}{r} $ . De la misma manera, $\displaystyle CH = \frac{\sqrt2 r_2^2}{r}$

Añadiendo, $ \displaystyle AC = \frac{2 (r_1^2 + r_2^2)}{r \sqrt2} = \frac{PQ^2}{r \sqrt2} \implies \frac{AC}{PQ} = \frac{PQ}{r \sqrt2}$

Como $\dfrac{AC}{PQ} = \dfrac{10}{r}, PQ = 10 \sqrt2$

$PH + HQ - PQ = 2r \implies \sqrt2 (r_1 + r_2) - 10 \sqrt2 = 2 r$ . Utilizando $r_1 + r_2 = BH - 10$ obtenemos $ ~ BH - 20 = \sqrt2 r$ .

Dado $PI$ es la bisectriz del ángulo de $\angle HPE$ y $\angle BPI = 90^\circ$ por lo que se deduce que el lápiz $P (HE, IB)$ es armónico. Así que tenemos,

$\dfrac{HI}{IE} = \dfrac{HB}{BE}$

$\dfrac{HI}{HE-HI} = 1 + \dfrac{1}{5 \sqrt2}$

$ (10 \sqrt2 + 1) HI = (5 \sqrt2 + 1) HE = BH$

$(20 + \sqrt2) r = BH = 20 + \sqrt2 r$

$ \implies r = 1$