Functor derivado derecho y $F$ -objetos acíclicos

Question

Necesito ayuda con respecto a una pregunta que surgió relacionada con un ejercicio (I.19 en la página 75 de Trenes de rodillos en los colectores de Kashiwara y Schapira) en el que estoy trabajando actualmente.

Dado un functor exacto a la izquierda $F: \mathcal{A}\rightarrow\mathcal{B}$ entre categorías abelianas, supongamos su functor derivado $RF$ existe. Entonces la subcategoría completa $\mathcal{J}$ de $F$ -objetos acíclicos (es decir, aquellos con $R^k F(X)=0$ para $k\neq 0$ ) forma un $F$ -y, por lo tanto, podemos calcular $RF$ sobre los complejos en $\mathcal{J}$ .

Supongamos ahora $F$ tiene dimensión cohomológica $n$ . Quiero demostrar que, dada una secuencia exacta $$0\rightarrow X_0\rightarrow \cdots \rightarrow X_n\rightarrow 0$$ en $\mathcal{A}$ con $X_i\in \mathcal{J}$ para $i<n$ entonces $X_n$ está en $\mathcal{J}$ también.

Se me ocurrió una solución que no me parece correcta, pero no encuentro en qué me equivoco:

Desde $\mathcal{J}$ es $F$ -injetivo, la secuencia $0\rightarrow X_0\rightarrow\cdots\rightarrow X_n\rightarrow 0$ define un $F$ -resolución inyectiva para $X_n$ es decir, un cuasi-isomorfismo $X_\ast \rightarrow X_n$ en $K^+(\mathcal{A})$ donde $$X_{\ast} =[ \cdots\rightarrow 0\rightarrow X_0\rightarrow\cdots\rightarrow X_{n-1}\rightarrow 0\rightarrow \cdots ]$$

(aquí $X_{n-1}$ está en la posición $0$ ). Ahora $R^kF(X_n)=R^kF(X_\ast)=H^kF(X)=0$ para $k>0$ Por lo tanto $X_n$ es $F$ -acíclico como $R^kF(X_n)=0$ para $k<0$ siempre es cierto en este caso.

Mi problema es que ni siquiera he utilizado el hecho de que $F$ tiene dimensión cohomológica finita, así que no creo que mi argumento sea correcto.

(Nótese que en el libro, la secuencia anterior no se supone exacta a la izquierda, sin embargo en clase la situación se presentó como la escribí. El contexto es la demostración de la dualidad Poincaré-Verdier).

Answer 1

No veo ningún error en su prueba. De hecho, aquí hay otra que no utiliza funtores hiperderivados (así que sin el hecho de que $R^kF(X_*)=H^kF(X_*)$ para un complejo de objetos acíclicos) :

Reclamación : Si $X_0\subset X_1$ son $F$ -acíclico, entonces también lo es $X_1/X_0$ . Esto se deduce de la secuencia exacta larga asociada a la secuencia exacta corta $0\rightarrow X_0\rightarrow X_1\rightarrow X_1/X_0\rightarrow 0$ .

Ahora, en su situación : $0\rightarrow X_0\rightarrow X_1\rightarrow ...\rightarrow X_{n-1}\rightarrow X_n\rightarrow 0$ si cada $X_i$ excepto tal vez $X_n$ es acíclico, entonces también lo es $X_n$ . De hecho, puedes dividir tu secuencia en otras más cortas: $$0\rightarrow X_0\rightarrow X_1\rightarrow \operatorname{Im}d^1\rightarrow 0$$ $$0\rightarrow \operatorname{Im}d^1\rightarrow X_2\rightarrow \operatorname{Im}d^2\rightarrow 0$$ $$0\rightarrow \operatorname{Im}d^2\rightarrow X_3\rightarrow \operatorname{Im}d^3\rightarrow 0$$ $$...$$ $$0\rightarrow \operatorname{Im}d^{n-2}\rightarrow X_{n-1}\rightarrow X_n\rightarrow 0$$ Ahora por el reclamo, $\operatorname{Im}d^1$ es acíclico como cociente de dos acíclicos, entonces $\operatorname{Im}d^2$ es acíclico como cociente de dos acíclicos, y así sucesivamente... así $X_n$ también es acíclico.

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Sin embargo, como ha señalado, la secuencia no se supone exacta a la izquierda. Y éste es el punto crucial. Así que dejemos que $X_0\rightarrow X_1\rightarrow ...\rightarrow X_{n-1}\rightarrow X_n\rightarrow 0$ sea una secuencia exacta larga tal que cada $X_i$ son acíclicos, excepto quizás $X_n$ y asumir que $F$ tiene dimensión cohomológica $\leq n$ . Escribe $K$ para el núcleo de $X_0\rightarrow X_1$ , se puede volver a dividir la secuencia larga exacta en otras cortas: $$0\rightarrow K\rightarrow X_0\rightarrow\operatorname{Im}d^0\rightarrow 0$$ $$0\rightarrow \operatorname{Im}d^0\rightarrow X_1\rightarrow\operatorname{Im}d^1\rightarrow 0$$ $$...$$ $$0\rightarrow \operatorname{Im}d^{n-2}\rightarrow X_{n-1}\rightarrow X_n\rightarrow 0$$ Dejemos que $k>0$ , entonces a partir de las secuencias largas exactas se obtiene : $$0=R^kF(X_{n-1})\rightarrow R^k F(X_n)\rightarrow R^{k+1}F(\operatorname{Im} d^{n-2})\rightarrow R^{k+1}F(X_{n-1})=0$$ $$0=R^{k+1}F(X_{n-2})\rightarrow F^{k+1}F(\operatorname{Im}d^{n-2})\rightarrow R^{k+2}F(\operatorname{Im}d^{n-3})\rightarrow R^{k+2}F(X_{n-2})=0$$ $$...$$ $$0=R^{k+n-1}F(X_0)\rightarrow R^{k+n-1}F(\operatorname{Im}d^0)\rightarrow R^{k+n}F(K)\rightarrow R^{k+n}F(X_0)=0$$ Así, se tienen isomorfismos $$R^kF(X_n)\overset{\sim}\rightarrow R^{k+1}F(\operatorname{Im}d^{n-2})\overset{\sim}\rightarrow...\overset{\sim}\rightarrow R^{k+n-1}F(\operatorname{Im}d^0)\overset{\sim}\rightarrow R^{k+n}F(K)$$ Pero el último objeto es $0$ desde $k+n>n$ y $F$ tiene dimensión cohomológica $\leq n$ . Así que $R^kF(X_n)=0$ y esto es válido para cada $k>0$ . Por lo tanto, $X_n$ es acíclico.

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Otra prueba más cercana a lo que tenía en mente, pero que requiere el uso de funtores hiperderivados : De nuevo, dejemos que $k>0$ , $K$ sea el núcleo de $X_0\rightarrow X_1$ y $X_*$ sea el complejo $X_0\rightarrow X_1\rightarrow...\rightarrow X_{n-1}$ . Tienes una secuencia corta y exacta de complejos : $$0\rightarrow K[n-1]\rightarrow X_*\rightarrow X_n[0]\rightarrow 0$$ Así, se tiene una larga secuencia exacta $$R^kF(X_*)\rightarrow R^k(X_n)\rightarrow R^{k+1}F(K[n-1])\rightarrow R^{k+1}F(X_*)$$ Como ha dicho usted en su post, $R^kF(X_*)=H^kF(X_*)=0$ desde $k>0$ y $X_*$ es un complejo de acíclicos en grado (cohomológico) no positivo. Lo mismo ocurre con $R^{k+1}F(X_*)=0$ . Así, se tiene un isomorfismo $$R^k F(X_n)\overset{\sim}\longrightarrow R^{k+1}F(K[n-1])=R^{k+n}F(K)$$ Pero este último objeto es cero porque $F$ es de dimensión cohomológica $\leq n$ .