Cuál es la definición de este anillo cociente: $Z[x]/(3, x^{n}-1)$ ?

Question

Al leer un artículo, se me ocurrió la siguiente definición de anillo de cociente, pero no estoy seguro de lo que significa exactamente:

$R=Z[x]/(x^{n}-1)$ ---> Conozco este, ya que tiene un parámetro de cociente que es $x^{n}-1$

$R/3=Z[x]/(3,x^{n}-1)$ ---> Pero este tiene más de un parámetro de cuantía, uno es 3 y el otro $x^{n}-1$ . ¿Qué significa esto exactamente?

¿Significa que tomamos el módulo de los elementos de $Z[x]$ según $x^{n}-1$ y luego tomar el módulo de nuevo de acuerdo a 3? Si es así, ¿significa eso que $Z[x]/(3,x^{n}-1)=Z_3[x]/(x^{n}-1)$ ?

En otras palabras, ¿tomamos el módulo $x^{n}-1$ de los elementos de $Z_3[x]$ ?

Edición: ¿Hay alguna diferencia si cambio el polinomio $x^{n}-1$ a $x^{n-1}+ x^{n-2}+...+1$ ¿o a otra cosa?

Answer 1

La pregunta que tiene no parece ser "¿Qué es $\mathbb{Z}[x]/(3, x^{n-1})?$ " tanto como parece ser "¿Qué es $(3, x^{n-1})$ ? Para decirlo brevemente, es el ideal más pequeño de $\mathbb{Z}[x]$ que contiene $3$ y $x^{n-1}$ .

Para decirlo un poco más claro, es el conjunto de todos los polinomios $p(x)$ tal que $p(x) = 3q(x) + x^{n-1}r(x)$ . T $x^{n - 2}$ tienen un coeficiente divisible por $3$ .

En conjunto, y obviando mucha maquinaria de fondo, tienes razón. $\mathbb{Z}[x]/(3, x^{n-1}) \simeq \mathbb{Z}_3[x]/(x^{n - 1})$ .