Distinguible pintado prismas con seis colores (permitida la repetición)

Question

Fraleigh(7) Ex17.9: Un prisma rectangular de 2 pies de largo con 1-ft extremos cuadrados es tener cada una de sus seis caras pintadas con uno de los seis colores posibles. Cuántos distinguibles pintado prismas son posibles si cada color puede ser utilizado en cualquier número de caras?

Lo resuelto pero la respuesta es diferente de la mía. Creo que mi respuesta es correcta, pero no he visto ningún error en la solución. Aquí está la solución.

Utilizamos Burnside la fórmula: (número de órbitas en $X$ bajo $G$)=$\frac 1 {|G|} \cdot \sum_{g \in G}|X_g|$. En este problema, el grupo de $G$ del prisma tiene orden de $8$, cuatro posiciones dejando las caras en la misma posición y en cuatro posiciones con las caras cambian. El conjunto $X$ de las posibles maneras de pintar el prisma ha $6^6$ elementos. Tenemos
$|X\text{_id}|=6^6$,
$|X\text{_(same ends, rotate 90° or 270°)}|=6^3$,
$|X\text{_(same ends, rotate 180°)}|=6^4$,
$|X\text{_(swap ends, keeping top face on top)}|=6^4$,
$|X\text{_(swap ends, as above, rotate 90° or 270°)}|=6^2$,
$|X\text{_(swap ends, as above, rotate 180°)}|=6^3$: Pero creo que esto debería ser $6^4$. Si usted intercambia extremos(manteniendo la parte superior de la cara en la parte superior) y, a continuación, gire $180°$, la izquierda y la derecha caras son fijos y de arriba-abajo, delante-atrás es intercambiados. Así que hay $6^4$ elementos fijos de la misma para el intercambio termina manteniendo la parte superior de la cara en la parte superior de caso. Quién tiene la razón?

Y hay una prueba elemental(o combinatoric??) método sin utilizar el grupo-teoría? No he estudiado la combinatoria en la universidad así que no sé cómo este problema será resuelto por la combinatoria. También el grupo de uso-la teoría y la Victoria de la fórmula, etc.?

Answer 1

Casi podemos factor problema en los distintos problemas de la determinación del número de $n_s$ de las coloraciones en los rostros cuadrados distinguibles bajo el intercambio y el número de $n_r$ de las coloraciones en las caras rectangulares distinguibles bajo rotaciones sobre el prisma del eje. La única interacción entre estos dos subproblemas surge porque si los rostros cuadrados del mismo color, los colores de las caras rectangulares se comportan de forma diferente dependiendo de si son quirales, es decir, distinguible de su imagen en el espejo. El producto $n_sn_r$ cuenta quiral la coloración de los rectángulos y su imagen en el espejo dos veces, aunque pueden ser transformados en cada uno de los otros mediante el intercambio de caras cuadradas si aquellos que tienen el mismo color, de manera que tenemos para contar el quirales y aquirales las coloraciones de los rectángulos por separado y para compensar la doble conteo.

Para $(4)$ idénticos colores en los rectángulos, es $1$ aquiral patrón de con $6$ colores a elegir.

Para $(3,1)$ idénticos colores en los rectángulos, es $1$ aquiral patrón de con $6\cdot5$ colores a elegir.

Para $(2,2)$ idénticos colores en los rectángulos, hay $2$ aquiral patrones de con $\binom62$ color las opciones de cada uno.

Para $(2,1,1)$ idénticos colores en los rectángulos, es $1$ aquiral patrón de con $6\binom52$ colores a elegir y $1$ quirales patrón de con $6\cdot5\cdot4$ colores a elegir.

Para $(1,1,1,1)$ idénticos colores en los rectángulos, es $1$ quirales patrón de con $6\cdot5\cdot4\cdot3/4$ colores a elegir.

Cada uno de los aquiral las coloraciones de los rectángulos puede ser combinado con $\binom62+6$ coloraciones de los rostros cuadrados, mientras que para el quirales las coloraciones de los rectángulos de la $6$ coloraciones de los rostros cuadrados con los colores iguales se cuentan por partida doble, así que para compensar debemos contar sólo $\binom62+3$ coloraciones de los rostros cuadrados por quiral la coloración de los rectángulos.

Poniendo todo junto, tenemos $6+6\cdot5+2\binom62+6\binom52=126$ aquiral las coloraciones de los rectángulos con $\binom62+6=21$ coloraciones de los rostros cuadrados y $6\cdot5\cdot4+6\cdot5\cdot4\cdot3/4=210$ quirales las coloraciones de los rectángulos con $\binom62+3=18$ coloraciones de los rostros cuadrados, para un total de $126\cdot21+210\cdot18=6426$ de distinguir las coloraciones del prisma.

Ahora viene lo más raro. La respuesta dada en el libro conduce a $6246$, con sólo dos dígitos intercambian. Pero si corrige el error detectado, sólo se consigue $6381$. La razón es otro error-el número de "swap extremos, como en el anterior, gire $90°$ o $270°$" que Gerry corregido de$6^4$$6^2$, debería ser $6^3$, ya que esta operación de swaps de dos pares de rectángulos adyacentes el uno en el otro. Que hace que el total correcto a $6426$.

P. S.: por Extraño que parezca, el error hizo que el número en su post original sale bien, ya que el resultado global de los tres errores, es que los números en las dos últimas líneas fueron intercambiadas :-). Lo que también es extraño es que el "Instructor del Manual de Soluciones" para la 7ª edición que he encontrado en internet contiene la incorrecta solución que usted cita, mientras que la edición en español que también puedes encontrar en internet, que parece ser a partir de 1988 y por lo tanto mayores que los de la 7ª edición en español, no da una solución detallada, pero da el número correcto $6426$ en la sección de soluciones.

Answer 2

Su $6^4$ es correcta. Sin embargo, $6^2$ para el tercer fin de intercambio caso es malo: realmente es $6^3$, ya que originalmente tenía. Si la rotación es $\pi/2$ de las agujas del reloj, los extremos de intercambio, la parte superior y el lado derecho de la swap, y la parte inferior y el lado izquierdo de intercambio, por lo que puedes elegir en tres colores, no dos.

Aquí está una escuela primaria de la enumeración a lo largo de las líneas sugeridas por André Nicolas. Establecer el prisma en la final. Supongamos en primer lugar que las caras superior e inferior y obtener el mismo color; vamos a contar el número de distinguir formas de color de los cuatro lados.

Usando un solo color: $6$ maneras.

El uso de dos colores, $3$ lados de un color y $1$ de los otros: Hay $6$ formas de elegir el color para el rostro y, a continuación, $5$ formas para elegir otro color, para un total de $30$ maneras. (Total: $36$)

El uso de dos colores, $2$ lados de cada color: Hay ${6 \choose 2} = 15$ formas para elegir los dos colores. Una vez que los colores son elegidos, pueden ser aplicados en sólo $2$ distinguibles maneras: o bien los lados opuestos son del mismo color o de diferentes colores. El número total de formas es, por tanto, de nuevo $30$. (Total: $66$)

El uso de tres colores: En este caso un color debe aparecer dos veces, las otras dos una vez cada uno. Hay $6$ formas de elegir el color que aparece dos veces, y hay, a continuación, ${5 \choose 2} = 10$ maneras de elegir los otros dos colores. Las dos caras del mismo color pueden ser adyacentes o frente. En cualquier caso no hace ninguna diferencia en cómo el resto de los dos colores se aplican a los otros dos lados, ya que podemos intercambiar los extremos, por lo que tenemos un total de $120$ maneras en este caso, $60$ de cada subcase. (Total: $186$)

Usando cuatro colores: Hay ${6\choose 4} = 15$ maneras de elegir los colores. Arbitrariamente elegir uno de los colores para pintar un lado. Hay $3$ formas de color en el lado opuesto, y ya que podemos intercambiar los extremos, no hace ninguna diferencia qué manera podemos aplicar los dos restantes colores a los otros dos lados. En este caso se obtiene un total de $15\cdot 3 = 45$ formas, para un gran total de $231$.

Para cada uno de estos $231$ colorantes de los cuatro lados, hay $6$ formas para dar color a las caras superior e inferior y, para un total de $1386$ colorantes en la que las caras superior e inferior y obtener el mismo color.

El análisis cuando las caras superior e inferior y obtener diferentes colores es bastante similar. Esta vez, sin embargo, es más fácil para dar cuenta de la coloración de las caras superior e inferior y a medida que avanzamos, tomando nota de que no se ${6\choose 2} = 15$ pares de colores para la parte superior e inferior de las caras.

Usando un solo color por los cuatro costados: ningún cambio, por lo $6$ formas de color en los lados y $6\cdot 15 = 90$ colorantes por completo. (Intercambio de extremos no afectan a los lados.)

El uso de dos colores: ningún cambio, por lo $60$ formas y $60\cdot 15 = 900$ colorantes; el intercambio termina afecta a los lados, pero puede ser restaurado por una rotación. (Total: $990$)

El uso de tres colores: Como antes, hay $6$ formas de elegir el color que aparece dos veces y, a continuación, $10$ maneras de elegir los otros dos colores, y las dos caras del mismo color pueden ser adyacentes o frente. Si son opuestos, no hace ninguna diferencia en cómo el resto de los dos colores se aplican a los otros dos lados, por lo que la sub-caso de los rendimientos de $60$ formas y $60\cdot 15 = 900$ colorantes. Si son adyacentes, sin embargo, el orden en el que los otros dos colores se aplican a los otros dos lados no importa, y llegamos $120$ maneras. Desde estas $120$ formas de colorear los lados no son conservados por el intercambio de extremos, cada uno aparentemente se extiende a $30$ diferentes formas de colorear el prisma, para un total de $120\cdot 30 = 3600$ colorantes. Sin embargo, esta realidad se cuenta cada colorante dos veces. Decir que los dos singleton lado los colores se $a$$b$, y que la parte superior e inferior de los colores se $c$$d$. El colorante en que $b$ sigue inmediatamente a $a$ en orden de las agujas del reloj y $c$ es en la parte superior es la misma que la de colorear en el que $a$ sigue inmediatamente a $b$ $d$ es en la parte superior. Cada uno de estos colorantes es, por tanto, contados dos veces en el $3600$, una vez con el lado de los colores en el orden en el $ab$ y una vez con ellos en el orden en el $ba$. Este subcase por lo tanto produce sólo $1800$ colorantes. (Total: $3690$)

Usando cuatro colores: todavía Hay $15$ maneras de elegir los colores. Como antes, arbitrariamente elegir uno de los colores para pintar un lado. Todavía hay $3$ formas de color en el lado opuesto, pero ya no podemos intercambiar los extremos, por lo que el orden en que se aplique el resto de los dos colores para los otros dos lados ahora importa. En este caso se obtiene un total de $15\cdot 6 = 90$ maneras. Un poco de reflexión muestra que es como el segundo de tres colores subcase, lo que da lugar a $90\cdot 15 = 1350$ colorantes y un gran total de $5040$ colores con distintas superior e inferior de los colores.

Por lo tanto, hay un total $1386+5040 = 6426$ distinguible de colores del prisma. Como un cheque, el Polya Enumeración Teorema se obtiene el mismo resultado.

Answer 3

Tal vez podemos resolver esto de forma relativamente rápida. Como se ha señalado por Brian M. Scott el Polya Enumeración Teorema (PET) se aplica aquí. El ciclo de índice de la cara de permutación grupo $G$ es fácil de calcular. Ahora de la lista de las aportaciones de los distintos automorfismos. No es la identidad, lo que contribuye $$a_1^6.$$ There are two rotations (90 degrees and 270 degrees) about the long central axis parallel to the long sides, which contribute $$2\times a_1^2 a_4.$$ The 180 degree rotation about said axis contributes $$a_1^2 a_2^2.$$

Dos simetrías adicionales surgen cuando se fijan dos opuesta a lo largo de los bordes y gira 180 grados, dando $$2\times a_2^3.$$ Finally there are two 180 degree rotations about an axis passing through the centers of two opposite long faces, giving $$2\times a_1^2 a_2^2.$$

Esto le da el ciclo del índice $A$Z(G) = \frac{1}{8} \left(a_1^6 + 2 a_1^2 a_4 + 2 a_2^3 + 3 a_1^2 a_2^2\right).$$

Suponiendo que tenemos $N$ colores queremos evaluar $$Z(G)(C_1+C_2+\cdots+C_N)_{C_1=1, C_2=1, \ldots C_N=1}$$ que resulta ser $$\frac{1}{8} \left(N^6 + 2 N^3 + 2 N^3 + 3 N^4\right) = \frac{1}{8} \left(N^6 + 3 N^4 + 4 N^3\right).$$

Esto produce la secuencia $$1, 18, 135, 640, 2250, 6426, 15778, 34560, 69255, 129250, 227601, 381888, 615160,\ldots$$ que, en efecto, por más de seis diferentes colores que se utilizan el valor de$$6426$$, como se nota por los otros carteles.

Hay otra MASCOTA de cálculo en este MSE enlace.