Demostrar que $v\in V$ tal que $\| v\|=1$ y $\| T(v)\|_W = \max\limits_{\Vert u \Vert_V = 1} \Vert T(u) \Vert_W$ es un vector propio de $T^*T$

Question

Dejemos que $V,W$ sean espacios de producto interno complejo de dimensión finita y $T:V \to W$ un mapa lineal.

Dejemos que $v\in V$ tal que $\| v\|=1$ y $\| T(v)\|_W = \max\limits_{\Vert u \Vert_V = 1} \Vert T(u) \Vert_W$ .

Demostrar que $v$ es un vector propio de $T^*T$

Intento esta dirección, pero realmente no estoy seguro $\| T(v)\|^2_W=\langle T(v),T(v) \rangle = \langle v,T^*T(v) \rangle$

Por favor, cualquier ayuda o sugerencia. Gracias.

Answer 1

Sugerencia

$U = T^*T: V \to V$ es un operador autoadjunto . Por tanto, es diagonalizable en una base ortonormal de vectores propios. Además, los valores propios son números reales no negativos.

Ahora, puedes ordenar los valores propios $\lambda_1 \lt \lambda_2 \lt \dots \lt \lambda_p$ de $U$ y se descomponen $$v = v_1 + v_2 + \dots + v_p$$ sobre los eigenspaces asociados. Por último, demuestre que $v_1 = v_2 = \dots = v_{p-1}=0$ utilizando la condición

$$\| T(v)\|_W = \max\limits_{\Vert u \Vert_V = 1} \Vert T(u) \Vert_W$$ y

$$\| T(v)\|^2_W=\langle T(v),T(v) \rangle = \langle v,T^*T(v) \rangle$$

Con esto, has terminado.

Answer 2

Para cualquier $u$ con $\|u\|_V=1$ , $$\vert\langle T^*Tv, u \rangle \vert=\vert \langle Tv, Tu \rangle \vert\le \lVert Tv\rVert_W \lVert Tu\rVert_W\le \lVert Tv\rVert_W \lVert Tv\rVert_W$$ como por hipótesis

$$\lVert T(u) \rVert_W \le \| T(v)\|_W = \max\limits_{\Vert u \Vert_V = 1} \Vert T(u) \Vert_W.$$

Como todas las desigualdades se convierten en igualdades para $u = v$ ,

$$\sup\limits_{\Vert u \Vert_V = 1} \lvert\langle T^*Tv, u \rangle \rvert$$ se alcanza cuando $u=v$ .

Podemos descomponer $u = \lambda_u T^*Tv + z$ donde $z$ es ortogonal a $T^*Tv$ . Entonces, si $\lVert T^*Tv \rVert_W \neq 0$

$$\lvert\langle T^*Tv, u \rangle \rvert = \lvert \lambda_u \rvert \lVert T^*Tv \rVert_W$$ es máxima cuando $\lvert \lambda_u \rvert$ es máxima. Como $$1=\lVert u \rVert^2 = \lvert \lambda_u \rvert^2 \lVert T^*Tv \rVert^2+ \lVert z \rVert^2$$ necesitamos tener $z=0$ y $u = \lambda T^*Tv$ . Lo que significa que $v$ es un vector propio de $T^*T$ .

Y si $\lVert T^*Tv \rVert_W =0$ entonces $T$ es el mapa lineal cero y el resultado deseado se cumple trivialmente.