Estoy interesado en aprender cómo utilizar la geometría y la topología en la física. ¿Alguien podría recomendarme un libro que cubra estos temas, preferiblemente con algunas demostraciones, aplicaciones físicas y énfasis en la intuición geométrica? He tomado un curso introductorio de análisis real pero no de matemáticas más avanzadas.
Lo primero que hay que decir es que la pregunta no es lo suficientemente específica: Las solicitudes de qué es exactamente ¿buscas? Para mí, un libro sobre geometría algebraica y simetría especular, y cómo se relaciona con la simetría especular tal como la conocen los físicos, es muy relevante e interesante. Sin embargo, tengo la sensación de que no es exactamente lo que estás buscando.
Por lo tanto, me ceñiré sobre todo a "cosas básicas", que parecen relevantes para cualquier persona realmente interesada en, por ejemplo, la física de altas energías (en el lado de la teoría, obviamente), sin asumir que el lector está realmente interesado en cosas avanzadas. Sin embargo, incluiré una sección de libros "especializados", donde se incluyen algunos temas más esotéricos y/o difíciles, así como libros que se centran completamente en una rama específica de la física (por ejemplo, la relatividad general), en lugar de desarrollar las herramientas matemáticas generales.
Por último, nótese que estoy omitiendo los textos introductorios estándar tanto de topología como de geometría si considero que el texto no está realmente orientado a las aplicaciones físicas, ya que hay tantos que incluso con este estricto criterio sobran. Aquí vamos (en alfabético orden):
Baez & Muniain - Teorías Gauge, Nudos y Gravedad
Interesante libro que desarrolla las matemáticas junto con las teorías físicas pertinentes: El primer capítulo es sobre E&M y las nociones matemáticas relevantes como las formas, el segundo capítulo es sobre la teoría gauge, tanto desde la perspectiva física como matemática, y el último capítulo es sobre la relatividad general y la geometría lorentziana.
Bleecker - Teoría Gauge y Principios Variacionales
Comienza con un tratamiento muy breve del cálculo tensorial, los haces de fibras, etc., pasando rápidamente a temas físicos como los campos de Dirac, la unificación (de los campos gauge) y la ruptura espontánea de simetría.
Bredon - Topología y Geometría
Después de ver el mensaje añadido por QuanticMan, solicitando respuestas para no rehuir de las intenciones del OP y recomendar libros de intuición geométrica, este libro me vino inmediatamente a la mente. En el prefacio, Bredon afirma:
Aunque la mayor parte de este libro está dedicada a la topología algebraica, intento ofrecer al lector algunos atisbos del bello e importante reino de las variedades lisas a lo largo del camino, e inculcar el principio de que las herramientas algebraicas están destinadas principalmente a la comprensión del mundo geométrico.
Esto parece encajar perfectamente en el proyecto de ley, y puedo recomendarlo personalmente. Sin embargo, hay que tener en cuenta que es un libro puramente matemático: No se presentan aplicaciones a la física, aunque las herramientas son, por supuesto, relevantes también en la física.
Burke - Geometría diferencial aplicada
Comienza con unas 200 páginas de herramientas matemáticas (desde los tensores hasta las formas) y luego se adentra en las aplicaciones: Desde la ecuación del calor hasta los campos gauge y la gravedad.
Cahill - Matemáticas físicas
Este es un libro realmente básico, que hace mucho más que topología y geometría: Comienza con álgebra lineal, dedica mucho tiempo a las ecuaciones diferenciales y finalmente llega, por ejemplo, a las formas diferenciales.
Fecko - Geometría diferencial y grupos de Lie para físicos
Desarrolla la teoría básica de los colectores (no se centra en la topología), y finalmente trata un montón de temas, incluyendo la mecánica clásica (geometría simpléctica), la teoría gauge y los espinores. También hay un conjunto (mucho más breve) de notas de clase de Fecko sobre el mismo tema.
Frankel - La geometría de la física: Una introducción
Este es un gran libro que cubre un lote de grupo matemáticamente, pero no se centra realmente en las aplicaciones físicas. Los temas incluyen las formas diferenciales, la geometría de Riemann, los haces, los espinores, la teoría gauge y los grupos de homotopía.
Gilmore - Grupos de Lie, física y geometría
Con el subtítulo "Una introducción para físicos, ingenieros y químicos", este libro podría ser un buen punto de partida para alguien que realmente sólo esté interesado en temas más sencillos y prácticos. Incluye un capítulo sobre los "átomos de hidrógeno", que parece interesante.
Hamilton - Teoría matemática de las galgas: Con aplicaciones al modelo estándar de la física de partículas
Asistí personalmente a las conferencias del profesor Hamilton, que corresponden aproximadamente a las primeras 450 páginas de este libro, y puedo dar fe de que todo lo que contiene este libro está presentado con gran cuidado. Puede resultar un poco abrumador para alguien que realmente sólo quiera centrarse en las aplicaciones físicas, pero muchos de los detalles técnicos del material de base que a menudo se omiten en otros textos se presentan aquí en su totalidad. La segunda parte se centra en las aplicaciones físicas, principalmente en las teorías gauge clásicas. El texto asume cierta familiaridad básica con los colectores, pero no mucho más.
Isham - Geometría diferencial moderna para físicos
Un "libro introductorio estándar" sobre geometría diferencial, traducido al lenguaje de los físicos. Isham tiene cuidado de señalar dónde se utilizan en la física las nociones matemáticas que introduce, lo que resulta agradable para quienes prefieren no perder de vista la relevancia física de todo ello. Cubre todos los aspectos básicos hasta los haces de fibras en unas 300 páginas.
Jost - Geometría y Física
Llega rápidamente a temas más avanzados, como los espacios de moduli, los espinores y las supermanifolds (todo ello en las primeras 100 páginas) en la primera parte, dedicada a las matemáticas. La segunda parte está dedicada a la física e incluye, por ejemplo, los modelos sigma y la teoría de campos conformes.
Mishchenko & Fomenko - Curso de geometría diferencial y topología
Aunque este es un libro de "introducción general" del tipo que dije que no incluiría, he decidido violar esa regla. Este libro es ruso, y el estilo de los libros de texto rusos es muy físico e interesante para los estudiantes de física, en mi opinión. Además, el libro no se centra en la geometría diferencial ni en la topología, sino que cubre ambas (brevemente), lo que también es bueno para los estudiantes de física.
Naber - Topología, Geometría y Campos Gauge (dos volúmenes)
El primer volumen tiene un bonito capítulo de motivación en el que se introducen nociones avanzadas (por desgracia, suelen ser las que resultan relevantes en física), y primero se discute la homología y la homotopía (¡¿en orden inverso?!) antes de pasar a las variedades y los haces (¡¿también en orden inverso?!), para terminar con la teoría gauge (física). El segundo volumen abarca temas más avanzados, como las clases de Chern.
Nakahara - Geometría, Topología y Física
El go-to book for mathematical prerequisites for e.g. gauge theory, string theory etc. if you ask 90% of physicists. Personalmente creo que es terrible porque no explica nada correctamente, pero supongo que es bueno aprender palabras de moda.
Nash & Sen - Geometría y Topología para Físicos
Este libro no es muy físico, pero parece muy agradable si realmente se trata de conseguir un buen dominio de las matemáticas. Se toma su tiempo para desarrollar (adecuadamente, espero) toda la teoría en orden: se introduce el grupo fundamental, la homología, la cohomología y los grupos superiores de homotopía, antes de tratar los haces de fibras y luego la teoría de Morse y los defectos (topológicos) (¡!). El último capítulo trata de las teorías de Yang-Mills, discutiendo los instantones y los monopolos.
Von Westenholz - Formas diferenciales en física matemática
Tras unas 400 páginas de matemáticas preparatorias (que incluyen, además de los temas estándar, la teoría de Frobenius y las foliaciones, ¡lo cual es agradable!), el libro trata la mecánica clásica y la física relativista (incluida la mecánica de fluidos), cada una en unas 50 páginas.
Booss & Bleecker - Topología y Análisis: La fórmula del índice de Atiyah-Singer y la física teórica de las galgas
Tema avanzado--muy analítico, con mucha información sobre operadores diferenciales elípticos.
Cartan - Teoría de los espinores
No pude resistirme a poner esto: El clásico original sobre espinores, por el propio descubridor. Un poco anticuado (en la notación, por ejemplo) y, por lo tanto, probablemente no sea muy útil para los estudiantes modernos.
Deligne et al. - Campo cuántico y cuerdas: Un curso para matemáticos (dos volúmenes)
Los dos volúmenes abarcan unas 1500 páginas, con contribuciones de matemáticos y físicos famosos (Deligne, Witten...). Cubre muchos temas avanzados de la física desde una perspectiva matemática, e incluye ejercicios.
Dunajski - Solitones, Instantones y Retorcedores
Como el OP menciona los solitones, pensé que sería interesante mencionar esto: Se supone que se conoce la topología y la geometría básicas, y se cubren muchos temas de interés físico (como los monopolos, las torceduras, los espinores en los colectores, etc.)
Levi-Civita - El cálculo diferencial absoluto
Otro clásico, y uno de los primeros libros sobre análisis tensorial.
Nash - Topología diferencial y teoría cuántica de campos
Este libro parece fascinante para aquellos que realmente intentan adentrarse en las partes más difíciles de la teoría gauge. Los temas tratados incluyen las teorías de campo topológicas (invariantes de nudos, homología de Floer, etc.), las anomalías y la teoría de campo conforme.
O'Neill - Geometría Semi-Riemanniana con Aplicaciones a la Relatividad
Un conocido libro de texto sobre los fundamentos matemáticos de la relatividad general.
Sachs & Wu - Relatividad general para matemáticos
Igual que el libro anterior
Ward & Wells - Geometría Twistor y teoría de campos
Este libro está completamente dedicado a la teoría de los torcedores: La última parte trata de las aplicaciones a la teoría gauge.
Si deseas aprender topología en general, te recomendaría el libro de Munkres, "Topology", que abarca bastante en cuanto a material introductorio.
Sin embargo, en términos de lo que podría ser útil para la física, te recomendaría cualquiera de los siguientes:
Personalmente, no he leído mucho de Nakahara, pero he escuchado buenos comentarios al respecto, aunque puede presuponer demasiados conceptos. He leído selecciones de Naber y parece estar bastante bien escrito y entendible, comenzando desde los principios básicos, pero nuevamente, puede que no se enfoque tanto en los fundamentos, si es lo que estás buscando.
Lo siento, no he oído nada de ese libro. Sin embargo, juzgando por el precio absolutamente ridículo en Amazon... De todas formas, también estaba hojeando el libro de Nash y Sen, y parecía tratar la topología de una manera muy intuitiva y clara, aunque a un precio matemático - los críticos de Amazon afirman que no es demasiado riguroso/completo matemáticamente.
Disfruté leyendo Nash y Sen, se ajustaba a mi gusto, siendo menos formal y más intuitivo. Nakahara es agradable. Schwarz parecía bueno a primera vista, pero no lo he leído.
También preguntaste acerca de temas en topología relevantes para la física. Aparte de las definiciones básicas y demás, uno de los conceptos más aplicados es la Homotopía. Es hermosa en sí misma, y formaliza el concepto de números de vueltas a dimensiones superiores. En física, comúnmente se utiliza para enumerar los solitones topológicos presentes en tu teoría. Hay otros, pero encontré que la Homotopía es muy importante y útil.
Para obtener un texto nuevo, conciso y muy completo con aplicaciones a muchos campos de la física, consulte Topología Diferencial y Geometría con Aplicaciones a la Física, de Nahmad-Achar (IOP Publishing). Este libro presenta, de manera concisa y directa, el formalismo matemático apropiado y los fundamentos de la topología diferencial y la geometría diferencial junto con aplicaciones esenciales en muchas ramas de la física.
Al visitar esta publicación cuando necesitaba orientación, estoy volviendo para quizás ofrecer algunas basadas en mis ideas.
Después de algunos intentos y errores, encontré que una buena combinación que funciona para mí es la siguiente: Utilicé "Geometry, Topology and Physics" de Nakahara porque es completo. Es una buena lectura en general, pero no es muy emocionante ya que no proporciona algo de intuición extra. Para eso, me abastecí de "The Geometry of Physics" de Frankel. Frankel contiene muchas ilustraciones y a veces cubre temas de una manera más intuitiva. Finalmente, encontré que "Gauge Fields, Knots and Gravity" de Baez y Muniain está muy bien escrito, por lo que se puede leer muy fácilmente y da una imagen muy fuerte e intuitiva (y física) de lo que está sucediendo.
Por lo tanto, una combinación de esos tres fue ideal para mí.
Como nota al margen, utilicé brevemente "Differential Geometry and Lie Groups for Physicists" de Fecko, pero encontré que su excesiva dependencia en los ejercicios es una gran desventaja. Me encanta cuando hay muchos ejercicios para realizar, pero a veces el autor se apoya en el lector para repasar puntos muy importantes a través de ejercicios y a veces el tiempo no es el adecuado; cuando se introduce un nuevo concepto, a veces requiere un cambio en la forma de pensar al respecto, por lo que delegar la comprensión fundamental de un nuevo concepto a un ejercicio que el lector quizás no pueda resolver no es una muy buena idea. Lo uso de vez en cuando para encontrar explicaciones alternativas y resolver ejercicios (muchos de los cuales son excelentes), así que no todo es malo.
Otro que me gustó es "Modern Differential Geometry for Physicists" de Isham. No entra en temas avanzados como los que se cubren en los capítulos posteriores de Nakahara, pero encontré que es muy pedagógico y sobresale en llegar al punto rápido y eficientemente.
No te apresures Ramanujan, primero aprende métodos matemáticos básicos (por ejemplo, de "Física Matemática" de Sadri-Hassani). Luego, la referencia estándar para que aprendas matemáticas de nivel de posgrado sería "Geometría, Topología y Física" de Nakahara. Si crees que es demasiado, tienes razón; este es un tema avanzado muy serio. Pero si quieres captar rápidamente algunas ideas básicas, echa un vistazo al capítulo 10 de "Teoría Cuántica de Campos" de Ryder. Una discusión avanzada y orientada físicamente se encuentra en "Aspectos de Simetría" de Coleman.
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Me gusta Messer, ¡Topología Ahora! Es fácil y divertido, y te lleva a temas no triviales sin necesidad de muchos requisitos previos o preocuparse por lo que un físico consideraría casos patológicos.