resolver una ecuación diferencial $\frac{dP}{dt} = kPcos^{2}(rt-\Theta)$

Question

Me piden que resuelva la siguiente ecuación diferencial.

$$\frac{dP}{dt} = kP \cos^{2}(rt-\theta)$$

$P(0) = P_{0} = 9$ para $k = 0.07, r = 0.49, \theta = 7.$

Hasta ahora sólo he hecho ecuaciones diferenciales lineales simples y separables, así que no estoy seguro de cómo enfocar ésta. Se agradece cualquier indicación o solución.

Answer 1

La ecuación

$\dfrac{dP}{dt} = kP \cos^2 (rt - \Theta) \tag 1$

es, de hecho, del tipo variable-seperable, a saber:

Si $P(t') = 0$ para cualquier $t' \in \Bbb R$ entonces por la unicidad de las soluciones $P(t) = 0$ para todos $t \in \Bbb R$ ya que la solución cero satisface $P(t') = 0$ . Además, invirtiendo si es necesario el signo de $P$ (una operación válida por linealidad) si es necesario podemos tomar $P > 0$ . Por lo tanto, para cualquier solución que no desaparezca idénticamente podemos escribir

$\dfrac{d\ln P}{dt} = \dfrac{1}{P}\dfrac{dP}{dt} = k \cos^2 (rt - \Theta); \tag 2$

integramos entre sí $t_0$ y $t$ :

$\ln \dfrac{P(t)}{P(t_0)} = \ln P(t) - \ln P(t_0) = k \displaystyle \int_{t_0}^t \cos^2(rt - \Theta) \; dt; \tag 3$

tenemos en general (de una tabla de integrales):

$\displaystyle \int \cos^2 ax \; dx = \dfrac{x}{2} + \dfrac{\sin 2ax}{4a}; \tag 4$

ajuste

$\alpha = \dfrac{\Theta}{r}, \tag 5$

escribimos

$rt - \Theta = r(t - \alpha), \tag 6$

y

$\displaystyle \int_{t_0}^t \cos^2 (rt - \Theta) \; dt = \int_{t_0}^t \cos^2 r(t - \alpha) \; dt = \left ( \dfrac{t - \alpha}{2} + \dfrac{\sin 2r(t - \alpha)}{4r} \right \vert_{t_0}^t$ $= \dfrac{t - t_0}{2} + \dfrac{\sin 2r(t - \alpha) - \sin 2r(t_0 - \alpha)}{4r}$ $= \left ( \dfrac{t}{2} + \dfrac{\sin 2r(t - \alpha)}{4r}\right ) - \left ( \dfrac{t_0}{2} + \dfrac{\sin 2r(t_0 - \alpha)}{4r} \right ); \tag 7$

ajuste

$\beta(t_0) = \dfrac{t_0}{2} + \dfrac{\sin 2r(t_0 - \alpha)}{4r}, \tag 8$

escribimos

$\displaystyle \int_{t_0}^t \cos^2 (rt - \Theta) \; dt = \dfrac{t}{2} + \dfrac{\sin 2r(t - \alpha)}{4r} - \beta(t_0); \tag 9$

volviendo a (3),

$\ln \dfrac{P(t)}{P(t_0)} = k \left ( \dfrac{t}{2} + \dfrac{\sin 2r(t - \alpha)}{4r} \right ) - k\beta(t_0), \tag{10}$

o

$P(t) = P(t_0) \exp \left ( k \left ( \dfrac{t}{2} + \dfrac{\sin 2r(t - \alpha)}{4r} \right ) - k\beta(t_0) \right )$ $= P(t_0) e^{ - k\beta(t_0) } \exp \left ( k \left ( \dfrac{t}{2} + \dfrac{\sin 2r(t - \alpha)}{4r} \right )\right ); \tag{11}$

no hay mucho que ganar en este punto con una reordenación más profunda de (11). El lector puede sustituir los valores específicos de las constantes (incluyendo $t_0$ y $P(t_0)$ ) para realizar una solución específica y concreta.