Hacer dos II $_1$ -con intersección trivial generan $B(H)$ ?

Question

Dejemos que $H$ sea un espacio de Hilbert separable de dimensión infinita y $B(H)$ el álgebra de operadores acotados.
Dejemos que $A$ , $B \subset B(H)$ sea II $_1$ -factores tales que $A \cap B = \mathbb{C}I$ .

Ejemplos :
(1) Toma $B = A'$ entonces $A \cap B = \mathbb{C}I$ por la definición de un factor.
(2) Toma $(A' \subset B)$ un subfactor irreducible, entonces $A \cap B = \mathbb{C}I$ por definición de irreductibilidad.

Obviamente $\langle A' , B' \rangle = (\mathbb{C}I)' = B(H)$ .

Pregunta : ¿Es también cierto que $\langle A , B \rangle = B(H)$ ?
Si no, ¿qué son los contraejemplos?

Nota: : Es cierto para los ejemplos (1) y (2).

Notación : $\langle S \rangle= (S \cup S^* \cup \mathbb{C}I) ''$

Answer 1

Se puede formular la pregunta como si $A\cap B=\mathbb C$ implica $A'\cap B'=\mathbb C$ .

Dejemos que $M$ sea algún II $_1$ -factor en $B(H) $ y que $A=M\otimes1$ , $B=1\otimes M$ en $B(H\otimes H) $ . Entonces $$ A'=M'\otimes B(H),\ \ \ B'=B(H)\otimes M', $$ así que $A'\cap B' =M'\otimes M'$ .