¿Es posible obtener la derivada de Radon-Nikodym $\left. \frac{dQ}{dP} \right|_{\mathscr{F}}$ de un martigale de IU?

Question

Tengo el siguiente teorema:

Teorema. Sea P una medida de probabilidad sobre $(\Omega, \{ \mathscr{F} \}, \mathscr{F}).$ Dada una UI a.s. estrictamente positiva $(\{ \mathscr{F} \},P)$ -martingale $\rho$ con $E_P[\rho_{\infty}]=1$ , $$ \left. \frac{dQ}{dP} \right|_{\mathscr{F}_{\infty}}:= \rho_{\infty}$$ define a través de $$Q(A) = \int_A \rho_{\infty} dP \quad \text{for every } A \in \mathscr{F}_{\infty}$$ una medida Q equivalente a P con respecto a $\mathscr{F}_{\infty}.$

Observación. Tenga en cuenta que si $\mathscr{F}$ es más rico que $\mathscr{F}_{\infty},$ no podemos recuperar $\left. \frac{dQ}{dP} \right|_{\mathscr{F}}$ de la martingala $\rho.$

Mi pregunta: No entiendo el comentario. ¿Por qué no podemos conseguir que Q sea equivalente a P con respecto al "más rico" $\mathscr{F}$ ? ¿Por qué lo "mejor" que podemos hacer es obtener $ \left. \frac{dQ}{dP} \right|_{\mathscr{F}_{\infty}}$ ?

Sabemos que $\rho_{\infty} \in L^1(\Omega, \mathscr{F}_{\infty}, P)$ pero creo que también es cierto que $\rho_{\infty} \in L^1(\Omega, \mathscr{F}, P).$ Por lo tanto, podría haber definido $Q(A) = \int_A \rho_{\infty} dP \quad \text{for every } A \in \mathscr{F},$ y entonces tendríamos $Q \ll P$ con respeto $\mathscr{F}.$ Además, como $\rho$ es una martingala UI estrictamente positiva a.s., tenemos $P \ll Q.$ ¿Hay algo malo en este argumento?

Answer 1

Si definimos $$Q(A) = \int_A \rho_{\infty} dP \quad \text{for all } A \in \mathscr{F},$$ entonces $\rho_{\infty}$ es la derivada Radon-Nikodym de Q con respecto a P en $\mathscr{F}.$ Desde $\rho_{\infty}$ es $\mathscr{F}$ -Medible, $$E[\rho_{\infty} | \mathscr{F}] = \rho_{\infty}.$$ Pero si $\mathscr{F}$ es más rico que $\mathscr{F}_{\infty},$ podría ocurrir que $$E[\rho_{\infty} | \mathscr{F}] = \rho_{\infty} \neq E[\rho_{\infty} | \mathscr{F}_{\infty}],$$ por lo que la martingala de IU no sería $\{ \mathscr{F}_t \}$ -adaptado, lo que sería una contradicción. Por lo tanto, nos vemos obligados a definir $Q$ sólo para todos $A \in \mathscr{F}_{\infty}.$