Como dijo Peter Kirkham, es una curva cuadrática de Bézier, que siempre es una parábola. La construcción del "arte de la cuerda" es el algoritmo de de Casteljau, que es la forma estándar de construir curvas de Bézier de cualquier grado. Hay algunas buenas animaciones en esta página
Puedes hacer lo mismo con tres puntos cualesquiera, y seguirás obteniendo una parábola.
La ecuación general de la curva cuadrática de Bézier definida por tres puntos de control $\mathbf{P}_0$ , $\mathbf{P}_a$ , $\mathbf{P}_1$ es $$ \mathbf{P}(t) = (x(t), y(t)) = (1-t)^2\mathbf{P_0} + 2t(1-t)\mathbf{P}_a + t^2\mathbf{P}_1 $$ En nuestro caso (para la curva original), tenemos $\mathbf{P}_0 = (1,0)$ , $\mathbf{P}_a = (0,0)$ , $\mathbf{P}_1 = (0,1)$ Así que $$ x(t) = (1-t)^2 \quad ; \quad y(t) = t^2 $$ A partir de estas ecuaciones, es evidente que $$ \sqrt x + \sqrt y = 1 $$ Eliminación de $t$ da la ecuación en las respuestas de Hurkyl y Henry: $$ x^2 -2xy + y^2 -2x - 2y + 1 = 0 $$ El discriminante de esta cuadrática es cero, por lo que es efectivamente una parábola.
Como señala el comentario de Achille Hui, este es sólo el ejemplo 2 sobre la página de wikipedia sobre los sobres .
Si ponemos $t=\tfrac12$ en la ecuación paramétrica, obtenemos $(x,y) = (\tfrac14, \tfrac14)$ . Este punto está a una distancia de alrededor de 1,06066 del punto $(1,1)$ . Así, el error entre nuestra parábola y el círculo al que se asemeja es de aproximadamente 0,06066. Las curvas de Bezier de mayor grado pueden producir mejores aproximaciones de los arcos circulares, por supuesto, utilizando esencialmente la misma construcción de "arte de la cuerda" de De Casteljau.
En cuanto a la pregunta nº 2 (¿existe una construcción similar que produzca un arco circular). La respuesta es sí. Sólo hay que utilizar una curva de Bezier cuadrática racional, en lugar de una polinómica. Existe una forma similar del algoritmo de Casteljau para curvas racionales. O, viéndolo de otra manera, se construye la curva parabólica de Bézier como se ha indicado anteriormente, pero en 3D, y luego se hace una proyección central sobre el plano $z=1$ para obtener una nueva construcción de cuerdas que produzca un círculo.
Con más detalle... supongamos que hacemos la construcción del arte de la cuerda en 3D, utilizando los tres puntos $$ \mathbf{Q}_0 = (1,0,1) \quad ; \quad \mathbf{Q}_a = \frac{1}{\sqrt{2}}(1,1,1) \quad ; \quad \mathbf{Q}_1 = (0,1,1) $$ Esto nos dará la curva 3D $$ \mathbf{Q}(t) = \Big( 1 + (\sqrt{2} - 2)t + (1 - \sqrt{2})t^2, \sqrt{2}t + (1 - \sqrt{2})t^2, 1 + (\sqrt{2} - 2)t + (2 - \sqrt{2})t^2 \Big) $$ que es una parábola. La proyección cónica de esta parábola sobre el plano $z=1$ es $$ \mathbf{P}(t) = \left( \frac{1 + (\sqrt{2} - 2)t + (1 - \sqrt{2})t^2}{1 + (\sqrt{2} - 2)t + (2 - \sqrt{2})t^2}, \frac{\sqrt{2}t + (1 - \sqrt{2})t^2} {1 + (\sqrt{2} - 2)t + (2 - \sqrt{2})t^2} \right) $$ En esta curva, se puede comprobar que $x^2+y^2=1$ así que es una porción del círculo unitario.
