Pista: encuentra la ecuación general de las líneas.
A continuación, encuentre una fórmula para "el punto $(x,y)$ se encuentra por encima y a la derecha de una línea determinada".
Para encontrar la ecuación general de las rectas, podemos utilizar la descripción de que hemos dividido los ejes en trozos iguales. Si hay $n$ piezas iguales, entonces hay $n-1$ puntos en esos intervalos $[0,1]$ , situadas a distancias $m/n$ desde el origen, donde $m$ es un número entero positivo menor que $n$ .
La línea que va unida a $(m/n, 0)$ tiene $(0, (n-m)/n) = (0, 1 - m/n)$ como su otro punto final. (Hay muchas maneras de ver esto: ¡dejaré que elijas la tuya!)
Para no tener que escribir, dejaré que $a = m/n$ , por lo que los segmentos de la línea se conectan $(a,0)$ a $(0, 1-a)$ .
Ahora, podemos cualquier método para obtener la ecuación de una línea que pasa por $(a,0)$ y $(0, 1-a)$ . Podríamos utilizar la forma de dos puntos. Podríamos usar la forma de intercepción de la pendiente. Demostraré un método que no depende de recordar algo: la ecuación de una recta siempre se parece a
$$ c x + d y = e $$
para algunos $c$ , $d$ y $e$ . Como esos dos puntos tienen que estar sobre ella, tenemos un sistema de ecuaciones:
$$ ca + d0 = e \qquad \qquad c0 + d(1-a) = e $$
o más simplemente
$$ ac = e \qquad \qquad d(1-a) = e $$
y sólo necesitamos cualquier solución que no sea todo ceros. Una de esas soluciones es
$$ c = \frac{1}{a} \qquad \qquad d = \frac{1}{1-a} \qquad \qquad e = 1 $$
Aparte: podríamos haber tomado un punto de partida diferente: por ejemplo, podríamos haber dicho que la ecuación de una línea no vertical siempre se parece a $y = cx + d$ y se ha adoptado el mismo enfoque para averiguar lo que $c$ y $d$ son.
Por lo tanto, las ecuaciones de la línea se ven como
$$ \frac{x}{a} + \frac{y}{1-a} = 1 $$
Un lado de la línea viene dado por la desigualdad
$$ \frac{x}{a} + \frac{y}{1-a} > 1 $$
y el otro por
$$ \frac{x}{a} + \frac{y}{1-a} < 1 $$
Queremos la desigualdad que describe que los puntos están por encima/a la derecha de la línea. Aunque se podría intentar "razonar", un enfoque más fácil es simplemente observar que queremos el lado que contiene $(1,1)$ . Un enfoque aún más fácil es observar que no quieren el lado que contiene $(0,0)$ . Si introducimos $(0,0)$ en el lado izquierdo, obtenemos cero. Así que no quiere el segundo.
Por lo tanto, cada punto en y por encima de su curva de belleza satisface la desigualdad
$$ \frac{x}{a} + \frac{y}{1-a} \geq 1 $$
para todo valor racional de $a \in (0,1)$ . Realmente debería satisfacer la desigualdad para cada $a \in (0,1)$ también.
Si su curva se comporta tan bien como parece, esta desigualdad debería ser una igualdad real para exactamente un valor de $a$ .
Entonces, ¿qué puntos $(x,y)$ satisfacen esta desigualdad para todos los valores de $a$ ? Bien, resolvamos para qué $a$ es el hace ¡satisfacer!
Primero combina las fracciones:
$$ \frac{x(1-a) + ya}{a(1-a)} \geq 1 $$
Ahora multiplica por el denominador. No olvides comprobar el signo. Es positivo, lo que significa que la desigualdad se mantiene en la misma dirección. Así, obtenemos
$$ x(1-a) + ya \geq a(1-a) $$
recogiendo el $a$ juntos:
$$ a^2 + a(y-x-1) + x \geq 0 $$
(y también tenemos $0 < a < 1$ ). Se trata de una función cuadrática de $a$ para cada valor particular de $x,y$ Su gráfica es una parábola.
Como queremos que los puntos realmente en la curva de belleza, deseamos que la ecuación real
$$ a^2 + a(y-x-1) + x = 0 $$
tienen exactamente una solución para $a$ . Recordemos que las soluciones son, por la fórmula cuadrática,
$$ a = \frac{(1+x-y) \pm \sqrt{(1+x-y)^2 - 4x}}{2} $$
Si sólo hay una solución, entonces esa raíz cuadrada debe ser realmente cero. Es decir, necesitamos
$$ (1+x-y)^2 - 4x = 0 $$
o de forma equivalente
$$ x^2 - 2xy + y^2 - 2x - 2y + 1 = 0 $$
Si estudias mucho las secciones cónicas, te darás cuenta de que los términos cuadráticos son
$$ x^2 - 2xy + y^2 = (x-y)^2$$
lo que significa que su curva es en realidad parte de una parábola. Aquí hay un gráfico usando Wolfram alpha
