$\lim\limits_{x \to \infty}\frac{2^x}{3^{x^2}}$

Question

Encuentre $$\lim\limits_{x \to \infty}\frac{2^x}{3^{x^2}}$$ Sólo puedo razonar con esto intuitivamente. ya que $3^{x^2}$ crece mucho más rápido que $2^x$ el límite como $x \to \infty$ de $f$ debe ser 0.

¿Existe una forma más rigurosa de demostrarlo?

Answer 1

¿Qué tal la comparación con $\displaystyle{\frac{2^x}{3^x}=\left(\frac{2}{3}\right)^x}$ ?

Answer 2

Una pista: $2^x \lt 3^x$ para un tamaño suficientemente grande $x$ .

Answer 3

¿Qué tal si reescribimos $\frac{2^x}{3^{x^2}}$ como $\frac{2^x}{3^x3^{x^2-x}}=(\frac{2}{3})^x\cdot\frac{1}{3^{x^2-x}}$ ?

Answer 4

Reescribiendo la fracción como $$\frac{e^{x \ln 2}}{e^{x^2 \ln 3}} = e^{x \ln 2 - x^2 \ln 3}$$ también puede ayudarte (aunque quizás no más que las otras respuestas ya dadas).

Answer 5

Después de tantos ejemplos equivalentes no puede faltar uno más por su forma. Aquí hacemos constante el numerador y mantenemos la notación en potencias de 2 y 3 . Denote $ ß=\frac{\ln(2)}{\ln(3)} $ Entonces $$ \frac{2^x}{3^{x^2}}=3^{ßx-x^2}=3^{(ß/2)²-(x-\fracß2)^2} = \frac{2^{ß/4}}{3^{(x-ß/2)^2}} $$ donde el numerador es constante. Vemos también, que el denominador es mínimo si $x=ß/2$ y toda la expresión es máxima por el exponente $ßx-x^2$ del segundo término, su primera derivada $ß-2x$ (que es cero en $x=ß/2$ ) y su segunda derivada $-2$ que es negativo y muestra, que toda la expresión tiene un máximo allí.