$r\in A$ está en el radical de Jacobson si $\operatorname{tr}(rs)=0\forall s\in A$

Question

Dejemos que $A$ sea una dimensión finita $k$ -para un campo $k$ de característica cero. Así, puedo considerar cualquier elemento $r\in A$ como una función lineal $(r\cdot{})\colon A\to A$ de dimensión finita $k$ -espacios vectoriales. Me he encontrado con la siguiente afirmación.

El criterio de Dickson: Un elemento $r\in A$ está contenida en el radical de Jacobson $J(A)$ si y sólo si $\operatorname{tr}(rs)=0$ para todos $s\in A$ .

Sin embargo, no he conseguido encontrar una prueba, ni por mí mismo ni buscando en Internet. Incluso no estoy seguro de que la afirmación sea correcta de esta manera. Se agradece cualquier precisión, prueba y/o referencia.

Answer 1

Interesante: No había visto esto hasta ahora.

Creo que quieres aprovechar el hecho de que

Para un campo de característica cero, si todas las potencias de una matriz tienen traza cero, entonces la matriz es nilpotente.

Me hubiera gustado dar una referencia concreta de esto, pero no la he encontrado. Todo tipo de referencias lo demuestran para $\mathbb R$ y $\mathbb C$ pero estoy bastante seguro de que es válido para los campos de la característica $0$ en general. Estoy bastante seguro de que el enfoque dado en esta solución indica que es así.

Así que en su caso, dado $s\in A$ , $0=\mathrm{tr}(rs)=\mathrm{tr}(rsrs)=\cdots$ para que $rs$ es nilpotente. Esto significa que $rA$ es un ideal derecho nulo, y el radical de Jacobson contiene todos los ideales derechos nulos.

A la inversa, como el radical de Jacobson de un anillo artiniano es un ideal nilpotente, cualquier cosa de la forma $rs$ con $r\in J(A)$ y $s\in A$ será también nilpotente, y como es sabido las transformaciones nilpotentes tienen traza $0$ .