Función generadora mediante relación de recurrencia

Question

Estoy tratando de encontrar la solución a la siguiente recurrencia para polinomios: \begin{align*} h^{[0]}(z) &= z \\ h^{[n+1]}(z) &= z h^{[n]}(z) (z+z^2+...+z^{n+1}) +z \end{align*} Calculé los primeros polinomios, pero no pude encontrar ningún patrón evidente (tampoco pude encontrarlo con la ayuda de OEIS). Además, mis limitados conocimientos de Maple no fueron suficientes para encontrar una solución (intenté rsolve Pero creo que no entiendo completamente la sintaxis de los polinomios).

¿Existe una expresión de forma cerrada para estos polinomios? ¿Y cómo puedo resolver estas recurrencias con Maple o Mathematica?

Answer 1

Afortunadamente ese término de suma z+z^2+...+z^(n+1) se puede poner en una forma cerrada. De lo contrario, puede que tengas que combinar lo que se puede considerar como un par mixto de recurrencias.

Ese término de suma puede ser tratado por rsolve o, más sencillamente, el sum comando.

palt:=rsolve({b(n)=b(n-1)+z^(n),b(1)=z},b(n));

                                    2         n 
                                   z       z z  
                     palt := z - ------ + ------
                                 -1 + z   -1 + z

p:=suma(z^i,i=1..n);

                             (n + 1)         
                            z            z   
                       p := -------- - ------
                             -1 + z    -1 + z

simplificar( p - palt );

                                  0

Ahora podemos resolver el problema. A continuación, me centraré en encontrar h(n).

sol:=rsolve({h(n)=h(n-1)*z*p+z,h(0)=z},h(n)):

donde sol tiene productos y sumas (con n en los límites del índice) pero ya no es una relación de recurrencia.

lprint(sol);

     (z^2/(-1+z))^n*(-1+z)*(product(z^(n0+1)-1, n0 = 0 .. n))*(sum((z^2/(-1+z))^
     (-n1)/(product(z^(n0+1)-1, n0 = 0 .. n1)), n1 = 0 .. n-1))/((z^(n+1)-1)*z)
     +(product(z^(n0+1)-1, n0 = 0 .. n))*(z^2/(-1+z))^n*z/(z^(n+1)-1)

Podemos probar este resultado para algunos casos de n comparando con un procedimiento recursivo establecido para calcular de forma similar a la recurrencia original.

Tú eliges si quieres poner los resultados en forma expandida, factorizada o simplificada.

seq(factor(simplify(eval(sol,n=i))),i=0..3);

           / 2    \    / 5    4    3    2    \  
      z, z \z  + 1/, z \z  + z  + z  + z  + 1/, 

        / 9      8      7      6      5      4    3    2    \  
        \z  + 2 z  + 3 z  + 3 z  + 2 z  + 2 z  + z  + z  + 1/ z

makeh:=proc(n::nonnegint)
  if n=0 then z;
  else z*procname(n-1)*add(z^i,i=1..n)+z;
  end if;
end proc:

seq(factor(simplify(makeh(i))),i=0..3);

           / 2    \    / 5    4    3    2    \  
      z, z \z  + 1/, z \z  + z  + z  + z  + 1/, 

        / 9      8      7      6      5      4    3    2    \  
        \z  + 2 z  + 3 z  + 3 z  + 2 z  + 2 z  + z  + z  + 1/ z

seq( simplify( makeh(i) - eval(sol,n=i) ), i=0..10 );

                   0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0

Answer 2

El factor es:

$\begin{equation*} h^{(n+1)}(z) = z^2 h^{(n)}(z) \frac{1 - z^{n + 1}}{1 - z} + z \end{equation*}$

Si el superíndice es sólo un índice (no derivados), se trata de una recurrencia lineal en $h^{(n)}(z)$ de primer orden, por lo que se puede resolver. Sin embargo, la expresión resultante es bastante formidable.