Es $z+\overline{z}$ ¿una función analítica?

Question

¿Cómo puedo demostrar inmediatamente que $z+\overline z$ no es una función analítica?

Answer 1

$z+\overline{z}$ es una función real no constante de z. Las únicas funciones de valor real en $\mathbb{C}$ que son analíticos son constantes (propiedad de mapeo abierto).

Answer 2

Las ecuaciones de Cauchy-Riemann no se cumplen. Así que no. No es analítico.

$$z=u+iv=2x+0i$$ $$\frac{\partial u}{\partial x}=2\neq \frac{\partial v}{\partial y}=0$$

Answer 3

Su función es igual a $2x$ en el eje real. Por continuación analítica, debería ser $2z$ en toda la línea compleja. Pero es evidente que esto no es cierto.

Answer 4

Los ceros de una función analítica están aislados, pero los ceros de $z+\overline{z}$ es todo el eje imaginario.

Answer 5

Nótese que una función compleja es analítica si y sólo si es holomorfa. La función $f(z)=z+\bar{z}=2Re(z)$ pero la función $g(z)=Re(z)$ no es holomorfo.