Curvas trigonales de género tres: ¿puede su cierre de Galois ser no abeliano?

Question

Dejemos que $X$ sea una curva de género tres que no sea hiperelíptica. Entonces $X$ es trigonal, es decir, existe un morfismo finito $X \to \mathbf P^1$ de grado $3$ .

Dejemos que $Y\to X \to \mathbf P^1$ sea un cierre de Galois de una curva trigonal. Entonces, a menos que $X\to \mathbf P^1$ es la curva de Klein, el mapa $Y\to \mathbf P^1$ es de grado $6$ .

Ahora bien, seguramente este último mapa podría tener grupo de Galois no abeliano, pero no conozco ningún ejemplo explícito. ¿Puede alguien darme un ejemplo explícito para el que esté claro que el grupo de Galois sobre $\mathbf P^1$ del cierre de Galois es no abeliano?

¿Podemos describir todas esas curvas trigonales en el espacio de moduli? ¿Cuál es la dimensión del locus de las curvas que son hiperelípticas O que tienen un mapa trigonal $X \to \mathbf P^1$ cuyo cierre de Galois es cíclico (de grado 6) sobre $\mathbf P^1$ ?

Answer 1

Convirtiendo mi comentario en una respuesta:

Es un hecho general de la teoría de Galois que una extensión de campo de grado 3 es o bien Galois con grupo de Galois cíclico, o bien su cierre de Galois tiene grupo de Galois no abeliano $S_3$ . Así que a menos que su morfismo original $X \to {\mathbb P}^1$ es un recubrimiento de Galois, el cierre de Galois $Y \to {\mathbb P}^1$ tendrá un grupo de Galois no abeliano.

Suponiendo que se trabaje sobre $\mathbb C$ (o cualquier otro campo que contenga raíces cúbicas de la unidad), la teoría de Kummer nos dice que los recubrimientos de Galois de ${\mathbb P}^1$ de grado 3 son exactamente las curvas superelípticas de la forma $y^3 = f(x)$ (con mapa a ${\mathbb P}^1$ dado por el $x$ -), donde $f$ es un polinomio libre de cubos y $X$ se toma como el modelo proyectivo suave de la curva afín dada por la ecuación.