Dejemos que $K:\mathbb{R}^3\backslash\{0\}\times\mathbb{R}^3\backslash\{0\}\rightarrow\mathbb{C}$ , de tal manera que $K(x,y)=K(y,x)$ y $K(x,y)=|x|^{-1}|y|^{-1}H(x,y)$ con $H$ localmente acotado. Sea $T$ sea el operador integral (singular) con núcleo $K$ es decir $$T(f)(x)=\int_{\mathbb{R}^3}K(x,y)f(y)dy$$ Supongamos que $T$ es unitaria en $L^2(\mathbb{R}^3)$ y delimitado desde $w^{-1}L^1(\mathbb{R}^3)$ à $wL^{\infty}(\mathbb{R}^3)$ , donde $w(x)=1+|x|^{-1}$ .
¿Puedo deducir, mediante alguna técnica de interpolación, que $T$ está acotado a partir de ${z_p}^{-1}L^p(\mathbb{R}^3)$ à ${z_p}L^q(\mathbb{R}^3)$ ? (con $1<p<2$ , $1/p+1/q=1$ y $z_p$ una función de peso adecuada en función de $p$ )
EDIT: Como señaló Christian, uno puede encontrar $z$ tal que el operador con núcleo integral $K(x,y)/(z(x)z(y))$ está acotado a partir de $L^2$ à $L^2$ y de $L^1$ à $L^{\infty}$ . Por lo tanto, un argumento típico de interpolación nos permite tomar $z_p=z$ por cada $p$ .
Sin embargo, me interesa la dependencia de un "óptimo" $z_p$ en $p$ . Con suerte, algo como $z_p=1+|x|^{-\alpha(p)}$ con $\alpha(p)>0$ y disminuyendo a $0$ como $p\rightarrow 2$ .
Gracias por cualquier sugerencia
