¿Significa "local en el objetivo" lo mismo que "local en la base"?

Question

En el libro de Vakil (Foundation of Algebraic Geometry), aprendí la definición de que un tipo de morfismo de esquemas es local en el objetivo:

Una clase de morfismos de esquemas se llama local en el objetivo si

(a) si $\pi:X\rightarrow Y$ está en la clase entonces para cualquier conjunto abierto $V$ de $Y$ el morfismo restringido $\pi ^{-1} (V)\rightarrow V$ está en el clase.

(b) para un morfismo $\pi:X\rightarrow Y$ si hay una tapa abierta { $V_i$ } de $Y$ para el que cada morfismo restringido $\pi ^{-1}(V)\rightarrow V$ está en la clase, entonces $\pi$ está en la clase.

En el otro libro (Geometría Algebraica y Aritmética curva Qing Liu), aprendí una definición similar.

Una propiedad P de los morfismos de los esquemas $\pi:X\rightarrow Y$ se dice que es local en la base si las siguientes afirmaciones son equivalentes:

(i) $\pi$ verifica P.

(ii) para cualquier $y\in Y$ existe una vecindad afín $V$ de $y$ tal que el morfismo restringido $\pi ^{-1} (V)\rightarrow V$ verfies P.

Es obvio que "local en el objetivo" implica "local en la base", pero ¿tenemos otra dirección?

Answer 1

Local en la base implica la condición (b), pero no la condición (a), de local en el objetivo.

Para (b): Supongamos que $(V_i)_{i\in I}$ es una cubierta abierta de $Y$ tal que $\pi_i\colon \pi^{-1}(V_i)\to V_i$ satisface la propiedad $P$ . Por (i) implica (ii), para todo $i\in I$ y todos $y\in V_i$ existe una vecindad afín $U_{i,y}$ con $y\in U_{i,y}\subseteq V_i$ tal que $\pi_{i,y}\colon \pi^{-1}(U_{i,y})\to U_{i, y}$ satisface $P$ . Pero entonces $(U_{i,y})_{i\in I, y\in V_i}$ es una cubierta abierta afín de $Y$ de manera que las restricciones $\pi_{i,y}$ satisfacer $P$ Por lo tanto, (ii) implica (i), $\pi$ satisface $P$ .

Para un contraejemplo de (a), se puede tomar la propiedad $P$ para ser " $Y$ puede ser cubierto por aperturas afines, cada una isomorfa a $\mathbb{A}^1$ ." Es fácil ver que esta propiedad es local en la base. Pero no satisface la condición (a) de local en el objetivo. En efecto, el mapa de identidad $\mathbb{A}^1\to\mathbb{A}^1$ satisface $P$ , pero dejando que $V$ sea el subconjunto abierto de $\mathbb{A}^1$ obtenida mediante la eliminación de un punto, la restricción $V\to V$ no satisface $P$ ya que $V$ no tiene ningún subconjunto abierto isomorfo a $\mathbb{A}^1$ .

Esta propiedad $P$ me parece bastante patológico (y no realmente "local"), lo que me hace sentir que la definición de Vakil es "mejor" para descartarlo. Pero no soy un geómetra algebraico, así que no puedo comentar si la distinción entre estas definiciones es relevante o sólo un descuido.