Es bien sabido ahora que una función no puede ser apoyada de compacto tanto en el espacio y la frecuencia (llamado principio de incertidumbre). Por otra parte, una función puede tener decaimiento exponencial a ambos lados, por ejemplo, la función de gausiano $e^{-x^2}$. Mi pregunta es si existe el caso intermedio. Más precisamente, hay una función compacto apoyada en el lado del espacio y tiene decaimiento exponencial en el lado de la frecuencia. ¡ Gracias!
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Anthony Shaw
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Si $\left|\hat{f}(\xi)\right|\leqslant Ce^{-k|\xi|}$, luego por inversión de la transformada de Fourier, tenemos $$\begin{align} \left|f^{(n)}(x)\right| &=\left|\int_{\mathbb{R}}\hat{f}(\xi)\,(i2\pi\xi)^n\,e^{i2\pi\,x\xi}\,\mathrm{d}\xi\right|\\ &\leqslant\int_{\mathbb{R}}Ce^{-k|\xi|}(2\pi|\xi|)^n\,\mathrm{d}\xi\\ &=(2C/k)(2\pi/k)^nn!\tag{1} \end {Alinee el} % estimación de $$ $(1)$implica la serie de energía para $f$ tiene un radio de convergencia de al menos $\frac{k}{2\pi}$ por todas partes. Por lo tanto, es verdadera analítica sobre todos $\mathbb{R}$ y no tiene soporte compacto a menos que sea idénticamente $0$.
Pretendemos que la función zero es la única función con esta propiedad. Supongamos que al contrario que $f$ es de forma compacta compatible y $\hat f$ ha decaimiento exponencial. A continuación,$\hat f \in L^1$, lo $f = (\hat f)^\vee$, la inversa de la transformada de fourier de $\hat f$. Pero, el decaimiento exponencial condición nos permite diferenciar bajo el signo integral para obtener que
$$(\hat f)^\vee(z) = \int_{\mathbb R} \hat f(x) e^{ixz} dx$$
se define y holomorphic para $z$ en un barrio de el eje real. Pero ya que esta función tiene soporte compacto en $\mathbb R$, se desvanece en un conjunto con un punto de acumulación, por lo tanto es idéntica a cero.
