Relación entre la polarizabilidad y la conductividad

Question

He visto en la literatura la relación:

$\sigma (q,\omega) = \frac{i e^2 \omega}{q^2}\chi(q,\omega)$

donde $\sigma$ es la conductividad y $\chi$ la polarizabilidad. Sin embargo mi intento de derivarlo me deja sin el factor $q^2$ . Tengo

\begin{equation*}J_{int} = \sigma E_{tot}\end{equation*} \begin{equation*}P = \epsilon_0 \chi E_{tot}\end{equation*} \begin{equation*}\rho_{int} = -\nabla \cdot P = -iq\epsilon_0 \chi E_{tot}\end{equation*} en el espacio de Fourier. La ecuación de continuidad se lee como \begin{equation*}iqJ_{int} = i\omega \rho_{int} = iq\sigma E_{tot}\end{equation*} Relacionando ambos a través de $\rho_{int}$ y cancelar $E_{tot}$ rendimientos: \begin{equation*}\sigma = -i\omega\epsilon_0 \chi\end{equation*}

Olvidando la diferencia entre las unidades, ¿dónde está la falta $q^2$ ? ¿Existe una transformada de Fourier inadecuada?

Answer 1

El uso de la definición de la polarización no es válido en todas las dimensiones. En cambio, como se trata de una relación general que queremos demostrar, sólo utilizaremos identidades que conocemos. Por la ecuación de continuidad y la definición de $\sigma$ obtenemos \begin{equation*} \frac{q\sigma}{\omega} = \frac{\rho_{int}}{E_{tot}}\end{equation*} pero, por definición, \begin{equation*} \rho_{int} = \chi \phi_{tot} \mbox{ and }E_{tot} = -iq\phi_{tot}\end{equation*} Si se combinan las tres, se obtiene la relación entre $\chi$ y $\sigma$ que es válido en todas las dimensiones.