Sugerencias sobre cómo verificar la solución de esta ecuación diferencial parcial

Question

Agradecería alguna orientación sobre lo siguiente:

Considere la función $z(x,y)=(x+y)\ln(x/y)$ .

Demuestre por sustitución que $x\frac{\partial z}{\partial x}+y\frac{\partial z}{\partial y}=z$ .

He reescrito la ecuación utilizando las reglas básicas de los logaritmos para tratar de separar $x$ y $y$ Esperando que esto arroje luz sobre el siguiente paso, pero todavía no está claro, es decir

$$z=x\ln(x/y)+y\ln(x/y)$$

$$z=x\ln(x)-x\ln(y)+y\ln(x)-y\ln(y)$$

Gracias de antemano.

Answer 1

Sólo hay que diferenciar y sustituir un lado para obtener el otro $$x[\color{red}{\ln x+1}-\ln y+\color{blue}{\frac{y}{x}}]+y[-\frac{x}{y}+\ln x- \ln y-1] \\=x\ln(x)-x\ln(y)+y\ln(x)-y\ln(y)=z$$