EDO lineal inhomogénea de segundo orden con función característica

Question

Me gustaría calcular la solución $y : [0, \infty) \longrightarrow \mathbb{R}$ del PIV

$$\ddot{y}(t) -4\dot{y}(t)+4y(t) = t\mathrm e^{2t} \chi_{[0,1]}(t), \quad y(0) = 1,\ \dot{y}(0) = 0,$$

donde $\chi_{[0,1]}(t)$ es la función indicadora en el intervalo $[0, 1].$

Lo que pude hacer es resolver la ecuación homogénea $\ddot{y}(t) -4\dot{y}(t)+4y(t) = 0$ . Después de esto quería encontrar una solución particular de la ecuación inhomogénea. Mi idea era utilizar el ansatz $y_{\mathrm p}(t) = f(t) \mathrm e^{2t}$ , donde $f$ es $\mathcal{C}^2$ La solución resultante se multiplica por la función característica. Eso me llevó a la solución particular $y_{\mathrm p}(t) = \frac{t^3}{6} \mathrm e^{2t} \chi_{[0,1]}(t)$ pero me han dicho que esto es un error. Cuál es mi error y cómo se puede resolver este problema?

Answer 1

No puedes tener $y_p\in C^2$ . En $t=1$ , $\ddot y$ tendría que cambiar abruptamente.

Así que la forma de hacerlo es calcular la solución $t\in[0,1)$ y $t\in[1,\infty)$ por separado, e imponiendo una $C^1$ transición en $t=1$ .

Así que para $t\in[0,1]$ la ED es $$ \ddot{y}-4\dot y+4y = te^{2t}, y(0)=1, \dot{y}(0)=0 $$ dando $y=\frac16\exp(2t)(t^3-12t+6)$ . En $t=1$ esto da $y(1)=-5e^2/6$ , $\dot y(1)=-19e^2/6$ por lo que la solución a $\ddot{y}-4\dot y+4y=0$ en $[1,\infty)$ es $$ y=\frac16\exp(2t)(4-9t) $$