¿Qué motiva la geometría algebraica moderna para un algebrista combinatorio/constructivo?

Question

Esto es, básicamente, yo tratando de generalizar "¿Por qué debería preocuparme por las gavillas y los esquemas?" en una pregunta razonable. Si tiene éxito, el tiempo lo dirá, pero espero que si no la pregunta, al menos las respuestas puedan ser útiles no sólo para mí.

Para diferenciar esto de algunas preguntas ya formuladas, permítanme aclarar:

• Me refiero sólo a la geometría algebraica moderna, es decir, a todo aquello que se trata mejor en términos de gavillas y esquemas que de variedades y curvas. Sé muy bien que la geometría algebraica clásica ("italiana") tiene muchas aplicaciones; me interesa conocer una razón para estudiar (y un hilo de oro para seguir en ello) el tipo de geometría algebraica que empezó con Serre, Leray, Grothendieck.

• Un "algebrista combinatorio/constructivo" es una noción que no puedo formalizar realmente, pero me refiero a un algebrista que se interesa por las cosas realmente computables y su "estructura fina" en lugar de por las abstracciones topológicas y su "estructura cruda"; por ejemplo, las identidades polinómicas reales en lugar de la igualdad de los conjuntos cero; los isomorfismos reales en lugar de la isomorfía; "para cada punto que no está en el conjunto cero de algún ideal particular" en lugar de "para casi todos los puntos". El "algebrista combinatorio/constructivo" (él mismo una abstracción) está bien con la abstracción y el formalismo siempre que sepa cómo transformar los resultados abstractos en ecuaciones concretas y algoritmos en caso de necesidad. No le parecen bien los resultados de existencia no constructivos, aunque es cauteloso a la hora de declarar las pruebas no constructivas a primera vista sólo por su formulación...

Creo que sé de un ejemplo de este tipo, un problema de factorización de matrices resuelto usando la cohomología de gavillas en algún lugar de MathOverflow (se agradece cualquier ayuda para encontrarlo). También existe la interpretación de las álgebras de Hopf conmutativas como álgebras de Hopf de coordenadas de esquemas afines - pero los esquemas afines no son realmente lo que yo considero geometría algebraica moderna; corresponden 1 a 1 a anillos y se consideran más frecuentemente como funtores que como espacios localmente anillados en la teoría del álgebra de Hopf. Personalmente, me convencerían más las aplicaciones a la teoría de invariantes (es decir, los resultados de la teoría de invariantes clásica demostrados con métodos geométricos) o el tipo combinatorio de la teoría de la representación. Solía pensar que el artículo de Swan que enlacé en pregunta 68071 es otra aplicación de la teoría de esquemas, pero después de entender la prueba de Seiler me parece bastante innecesaria.

Answer 1

Una motivación combinatoria es la conjetura n!, cuya demostración por Haiman utiliza esquemas de Hilbert. Un relato de este trabajo escrito por Haiman para la conferencia Current Developments in Mathematics de 2002 se encuentra en math.berkeley.edu/~mhaiman/ftp/cdm/cdm.pdf . Haiman subraya al principio del artículo que los principales resultados geométricos que había que demostrar estaban motivados por pruebas combinatorias. Alrededor de la época en que Haiman anunció por primera vez sus resultados sobre la conjetura n! (antes de que se trasladara a Berkeley) yo había oído decir a otras personas que esta conjetura motivó a Haiman a aprender geometría algebraica moderna. La respuesta de Haiman al recibir el premio Moore en el AMS Notices de abril de 2004, p. 432, parece confirmarlo más o menos, de manera análoga a como las conjeturas de Weil fueron un problema abierto concreto que motivó el trabajo de Grothendieck.

Answer 2

Positividad de los polinomios de Kazhdan--Lusztig (y todos los demás resultados de positividad en la teoría de Kazhdan--Lusztig en general).

Consideremos el álgebra de Hecke $H_n(q)$ . Es una deformación particular del álgebra de grupo del grupo simétrico (o de algún otro grupo Coxeter). Como tal, tiene una base $T_w$ indexado por permutaciones, y la multiplicación viene dada por $$T_wT_{s_i}=T_{ws_i}$$ si $\ell(ws_i)=\ell(w)+1$ y $$T_wT_{s_i}=qT_{ws_i}+(1-q)T_w$$ si $\ell(ws_i)=\ell(w)-1$ .

Definir una involución en $H_n(q)$ (normalmente llamada la involución de la barra) por $\overline{q}=q^{-1}$ y $\overline{T_w}=(T_{w^{-1}})^{-1}$ . Kazhdan y Lusztig demostraron que existe una base única $C^\prime_w$ tal que

1) $\overline{C^\prime_w}=C^\prime_w$

2) Si escribimos $C^\prime_w=\sum_x P_{x,w}(q)T_x$ entonces el grado de $P_{x,w}(q)$ está limitada por encima por $(\ell(w)-\ell(x)-1)/2$ .

3) $P_{w,w}(q)=1$ .

Los polinomios $P_{x,w}(q)$ (y en particular su coeficiente en el grado máximo permitido) resultan dar una forma combinatoria muy agradable de construir representaciones de $S_n$ (o el grupo Coxeter en cuestión), y una teoría similar también construye representaciones de grupos finitos de tipo Lie.

Ahora, la única manera de probar que $P_{x,w}(q)$ tienen coeficientes enteros positivos hasta ahora es mostrar que son los polinomios de Poincare para la cohomología de intersección local en variedades de Schubert. Mejor aún, hay que interpretar el álgebra de Hecke como una especie de grupo de Grothendieck en la categoría de láminas perversas sobre la variedad bandera. Springer, a principios de la década de 1980, utilizó esta interpretación para demostrar que, si se toma un producto $C_vC_w$ y amplía este producto en el $C$ base, los coeficientes son todos polinomios con coeficientes enteros positivos. (El $C^\prime$ es una variante del $C$ base que es un poco más fácil de escribir).

(Las mejores referencias que conozco son el libro de Humphrey sobre grupos de reflexión y grupos de Coxeter y el libro de Bjorner y Brenti sobre Combinatoria de grupos de Coxeter, ambos con un capítulo dedicado a este tema).

Answer 3

Si está interesado en cálculos reales utilizando la geometría algebraica moderna, hay muchos en la teoría de Gromov-Witten y en la geometría enumerativa. Por ejemplo, la fórmula de Kontsevich para contar curvas racionales en el plano es un ejemplo famoso. La prueba en sí no utiliza ninguna teoría de esquemas, sino que se basa en la estructura de un objeto muy delicado llamado espacio de módulos de mapas estables, que no podría construirse sin utilizar esquemas. Básicamente, los problemas de recuento en la geometría enumerativa suelen transformarse en teoría de intersección en los espacios de moduli de los objetos que se cuentan. Queremos que el espacio de módulos sea compacto para poder utilizar el "invariante de los números" (ejemplo: dos líneas se cruzan en un punto en el plano proyectivo, pero no necesariamente en línea afín). La compactación del espacio de módulos significa que se permite que los objetos tengan límites, por lo que incluso si los objetos que nos interesan son variedades lisas, sus límites pueden estar deformados y tener estructuras no reducidas (léase: esquemas y tramas). Por ejemplo, una cónica puede ser denegada a una línea doble que sólo tiene sentido como esquema. Se puede leer una buena exposición de la fórmula de Kontsevich en : http://arxiv.org/abs/alg-geom/9608011 .

Como otro ejemplo, en http://arxiv.org/abs/alg-geom/9612004 Getzler calculó la matriz de pares de intersección de $\mathcal M_{1,4}$ para obtener la relación entre ciclos y luego utilizarla para calcular, por ejemplo, el número de curvas elípticas de grado $5$ de paso $20$ líneas en $\mathbb P^3$ para ser $2,583,319,387,968$ entre otras cosas.

Answer 4

El papel http://arxiv.org/abs/math/0309121 de Borisov y Sapir utiliza esquemas para demostrar que los toros de mapeo de endomorfismos de grupos libres son residualmente finitos.