¿Cuál es el punto de los espectros?

Question

Estoy familiarizado con la definición de un espectro, la que se debe a Adams, sin embargo, no estoy realmente seguro de por qué alguien querría definir algo así. Sé que permiten generalizar la homología y la cohomología, ¿pero es este su único propósito? Leí en el libro de Topología Algebraica de Switzer

"Tenemos otro objetivo al construir la categoría de espectros. En la teoría de la homología, la homomorfismo de suspensión $\sigma: h_n(X) \rightarrow h_{n+1}(SX)$ siempre es un isomorfismo. Por diversas razones, esto sugiere intentar incrustar $\mathscr{PW}'$ en una categoría más grande en la que el functor de suspensión $S$ tenga un inverso $S^{-1}$."

¿Alguien puede ampliar sobre esto?

Answer 1

Hay muchas cosas diferentes sucediendo aquí. Uno es que para invertir el funtor de suspensión es estabilizar. El teorema de suspensión de Freudenthal te dice que el sistema de mapas de suspensión $[X,Y] \to [SX,SY] \to [S^2X,S^2Y] \to \cdots$ eventualmente se estabiliza (al menos para complejos CW finitos), y así puedes ver esto como una simplificación de la categoría usual de espacios. Además, por razones formales esto implica que tu categoría está enriquecida en grupos abelianos, lo que te da más tracción en las cosas. (Por ejemplo, siempre puedes sumar dos mapas, los mapas siempre tienen inversas, etc.)

Más ampliamente, el verdadero poder de la teoría de homotopía es que prácticamente todo es representable de una forma u otra, lo que significa que puedes utilizar tus herramientas unas sobre otras y lograr que te digan cosas nuevas sobre las propias herramientas. Desde este punto de vista, es completamente natural definir la categoría de espectros (ya que es equivalente a la categoría de teorías de cohomología). Pero parece que ya conocías esta pieza de motivación.

Answer 2

También estoy aprendiendo todo esto, y tuve la misma crisis de preguntarme para qué diablos son los espectros, así que tal vez pueda ayudarte con la idea que tengo ahora de los espectros. Como dijo Aaron, hay muchas cosas diferentes sucediendo aquí, y sus dos razones ya son suficientes para motivar tal construcción. Aquí hay algunas más (1 razón y 2 buenas consecuencias).

Asumiré que crees que las teorías de cohomología generalizadas son muy útiles en la topología algebraica. Además, también estoy aprendiendo esto, así que ten en cuenta todo lo que digo con cierta precaución.

1) Creo que el propósito principal y la motivación de por qué existen los espectros, es la siguiente: hay algunas cosas que los espacios ocultan a las teorías de cohomología, y nos gustaría eliminar esta "información extra" que realmente no necesitamos cuando estudiamos espacios mediante teorías de cohomología. La información que los espacios ocultan es el fenómeno inestable, en el siguiente sentido: si $X$ e $Y$ son estables equivalentes, por ejemplo $\Sigma X \simeq \Sigma Y$, entonces $E_{\ast}(X) \cong E_{\ast + 1}(\Sigma X) \cong E_{\ast + 1}(\Sigma Y) \cong E_{\ast}(Y)$ para cualquier teoría de cohomología generalizada $E_{\ast}$. Esto dice que no hay una teoría de cohomología que va a ver una diferencia entre $X$ e $Y, así que podríamos decir que son "iguales". Esta es una razón por la cual desearías invertir realmente el funtor de suspensión $\Sigma$, y la categoría resultante (universal) que obtienes al hacerlo es la categoría de espectros. Otra manera de decir esto es que $Sp$ es la categoría universal con un funtor $\Sigma^{\infty} \colon Top \to Sp$, tal que cualquier teoría de cohomología $Top \to GrAb$ se factoriza a través de ella.

2) Resulta que esta construcción de espectros al invertir $\Sigma$ tiene muchas buenas propiedades, algunas de ellas son enumeradas por Aaron. Una importante (¡que no es cierta para los espacios!) es que las sucesiones cofibrantes son las mismas que las sucesiones de fibras. Así que muy bien podríamos intentar trabajar en esta categoría $Sp.

3) Otra buena consecuencia de los espectros es el teorema de representabilidad de Brown. Dice que cualquier teoría de cohomología generalizada en espacios es representable por un espectro. Los espacios no son suficientes para obtener todas las teorías de cohomología, necesitas una categoría un poco más grande que los espacios. Así que ahora puedes estudiar teorías de cohomología con las herramientas que desarrollaste para estudiar espacios, genial. En particular, dado que un espectro = una teoría de cohomología, puedes tomar la cohomología de una teoría de cohomología... ¡Raro la primera vez que lo escuchas!

Answer 3

Aaron y redfiloux tienen respuestas excelentes aquí. Me gustaría intentar abordar el lado de "estas son básicamente teorías de cohomología" un poco más cuidadosamente, espero sin salirme demasiado del tema.

Por cierto, una gran razón para preocuparse por las teorías de cohomología proviene de las dos soluciones de Adams al problema de la invariante de Hopf uno. Su primera solución usa cohomología ordinaria para hacer el trabajo, pero es muy larga y hace un uso extensivo de "operaciones de cohomología superiores." Su segunda demostración (con Atiyah) es hermosa y corta, pero solo porque utiliza una teoría de cohomología extraordinaria (teoría K-compleja) para hacer el trabajo. (http://people.virginia.edu/~mah7cd/Foundations/Adams,%20Atiyah%20-%20K-theory%20and%20the%20Hopf%20Invariant.pdf)

Entonces supongamos que nos importan las teorías de cohomología. Estas son bastante simples por sí solas, simplemente convierten cada espacio en una secuencia de grupos abelianos. Ciertamente podemos avanzar bastante solo calculando estos grupos y usándolos para demostrar teoremas.

Sin embargo, para un teorema dado, es posible que necesitemos construir una nueva teoría de cohomología a partir de otras más antiguas. Por ejemplo, es posible que necesitemos tomar un pushout o un límite directo de teorías de cohomología. Esto es realmente difícil si piensas en la cohomología como un funtor de espacios a grupos. Puedes hacer una categoría de tales funtores, pero esta categoría no contiene todos los colímites, por lo que te quedas sin un medio para "pegar" teorías de cohomología para crear nuevas.

Puede que estés familiarizado con un problema similar a nivel de espacio. Se puede construir la "categoría de homotopía de espacios" tomando los objetos como complejos CW y los morfismos como clases de homotopía de aplicaciones continuas. Es una categoría, pero no contiene pushouts o colímites secuenciales. Así que puedes trabajar con espacios y mapas de acuerdo a la homotopía si quieres, pero no podrás hacer mucho. Es mucho mejor trabajar con espacios y mapas de forma directa, y hacer construcciones como el doble cilindro de mapeo y el telescopio de mapeo cuando quieras formar pushouts o colímites secuenciales. Un buen mantra es, pasar a la homotopía lo más tarde posible.

El mismo razonamiento se aplica a espectros vs. teorías de cohomología. La categoría de homotopía estable de espectros (como la describen Adams y Switzer) es casi equivalente a la categoría de teorías de cohomología (pero no del todo: https://mathoverflow.net/questions/117684/are-spectra-really-the-same-as-cohomology-theories). Podemos tomar dobles cilindros de mapeo (y cofibras de homotopía, etc.) de espectros, y esto nos da una forma significativa de "pegar teorías de cohomología." La topología adicional involucrada (una secuencia de espacios en lugar de una secuencia de grupos) nos brinda más control y una mayor capacidad para hacer construcciones como esta.

¡Espero que eso proporcione algo de motivación para estudiar espectros!