¿Puedo encontrar siempre un mapa de haz suave que relacione dos campos vectoriales suaves arbitrarios definidos en la misma variedad suave?

Question

Supongamos que consideramos dos campos vectoriales suaves arbitrarios $X: M\rightarrow TM$ y $Y: M\rightarrow TM$ definidos en la misma variedad diferenciable $M$ . ¿Hay siempre un mapa suave $A: TM\rightarrow TM$ (o una composición de mapas suaves, ninguno de ellos necesariamente inducido por un difeomorfismo $\varphi: M\rightarrow M$ ), de manera que $Y=A(X)$ ?

Si la respuesta es no, ¿cuáles son las condiciones en las que puedo encontrar un mapa tan suave $A$ ?

Si conoce la respuesta, ¿podría sugerirme una referencia donde se trate este problema?

Answer 1

La estructura del espacio vectorial hace que esto sea bastante sencillo: podemos hacerlo utilizando una traslación en sentido de la fibra del haz tangente. Más explícitamente, definamos $A: TM \to TM$ por $$A(V_p) = V_p + Y_p - X_p.$$ En coordenadas estándar $(x^i, dx^i)$ en el haz tangente esto es simplemente $A^i(p,V) = (p, V^i + Y^i - X^i)$ por lo que se suaviza por la suavidad de $X,Y$ y la propiedad deseada $A(X) = Y$ está claro.