Valores propios de la matriz con todos $1$ 's.

Question

Dejemos que $A$ sea el $n \times n$ matriz sobre un campo de característica 0, cuyas entradas son todas 1. ¿Cuáles son los valores propios de $A$ ¿contar con sus multiplicidades?

Answer 1

¿Qué es? $Ax$ , donde $x =(x_1,\ldots,x_n)^\top$ ? Es un $n\times 1$ vector de columnas en el que cada entrada es $x_1+\cdots+x_n$ . Así, $x$ está en el núcleo, y por lo tanto $x$ es un vector propio con valor propio $0$ , si esa suma es $0$ . Entonces, ¿cuál es la dimensión del espacio de $n$ -tuplas en las que la suma de los componentes es $0$ ? Para el mapeo $(x_1,\ldots,x_n)\mapsto x_1+\cdots+x_n$ la dimensión de la imagen es $1$ y la dimensión del dominio es $n$ por lo que la dimensión del núcleo es $n-1$ . Así que la multiplicidad geométrica de $0$ como un valor propio de $A$ es decir, la dimensión del eigespacio, es $n-1$ . Eso deja espacio para un $1$ -espacio eigénico con algún otro valor propio. Y $(1,\ldots,1)^\top$ se asigna a $(n,\ldots,n)$ así que eso te da el otro.

Answer 2

Dejemos que $A$ sea el $n$ -por- $n$ matriz de todos los unos. Como cada fila es una copia repetida de la primera fila, el determinante de $A$ es $0$ . Esto implica que $0$ es un valor propio de $A$ . Además, observe que la nulidad de $A$ es $n-1$ . Esto implica que la multiplicidad geométrica de $0$ es $n-1$ . El valor propio restante tiene multiplicidad geométrica $1$ . Tenga en cuenta que si $x=[1 \cdots 1]^T$ entonces $Ax=n x$ . Así, $n$ es un valor propio de $A$ .

Answer 3

Dado que el rango de la matriz es $1$ sólo hay un valor propio distinto de cero. Hay un valor propio no nulo obvio, que te dejaré, y los vectores $(1,-1,0,0,\dots)$ , $(0,1,-1,\dots)$ formulario $n-1$ vectores propios independientes para el valor propio $0$ .