Puntos de función de la rama

Question

Considere $$f(z)=\int_0^{\infty} \frac{e^{-t}}{t+z}dt.$$

Intento determinar dónde esta función tiene puntos de bifurcación, definir cortes de bifurcación adecuados y determinar la discontinuidad a través del corte. En primer lugar, creo que tiene una singularidad esencial a lo largo de todo el eje real negativo, ¿correcto?

No estoy seguro de cómo manejar los puntos de ramificación. Intuitivamente parece que 0 es un punto de bifurcación, pero no estoy seguro de cuál sería el corte o la discontinuidad - o cómo justificarlo.

Answer 1

Puedes hacer un cambio de variables para reescribir la integral como $$\int_z^{\infty} \dfrac{e^{-t + z}}{t}dt = e^z \int_z^{\infty} \dfrac{e^{-t}}{t} dt,$$ donde la integral se toma a lo largo de un contorno que es la traslación del eje real positivo por $z$ .

Ahora es fácil ver cómo la función se comporta como $z$ se desplaza $0$ el contorno sobre el que estamos integrando serpentea alrededor del origen, por lo que por el teorema del residuo añadimos el valor $2\pi i e^z$ . Así que la singularidad en el origen se ve como $e^z \log z$ y hay un punto de ramificación logarítmica en el origen.