Teorema conexo del funcional lineal

Question

Q Sea V un espacio vectorial de dimensión finita sobre un campo k y sea $V^\ast=Hom(V,k)$ sea el espacio dual de V. Sea $\left\lbrace v^i \right\rbrace^n_{i=1}$ sea la base dual de $V^\ast$ . A continuación, demuestre que para cualquier funcional lineal $\sigma\in V^\ast$ $$\sigma=\sigma(v_1)v^1+\sigma(v_2)v^2+\cdots+\sigma(v_n)v^n$$

Mi enfoque Recordemos que la base dual $\left\lbrace v^i \right\rbrace^n_{i=1}$ consiste en el vector $v^j(v_i)=\delta_{ij}$ donde $\delta_{ij}$ es la función delta de Kronecker que es $1 \text{ if } i= j$ y $0 \text{ if } i\neq j.$ Sea x un vector arbitrario en V. Ya que $\left\lbrace v^i \right\rbrace^n_{i=1}$ es una base de V, expresamos $x\in V$ como una combinación lineal de la base. Tenemos $x=\sum^n_{i=1}c_iv_i$ donde $c_i\in k$ . Para una j fija, tenemos $$\begin{align*} v^j(x) &= v^j\left( \sum^n_{i=1}c_iv_i \right) \\ &=\sum^n_{i=1}c_iv^j(v_i) \qquad \text{by the linearity of }v_j \\ &=\sum^n_{i=1}c_i\delta_{ij} \qquad \text{by the definition of dual basis}\\ &=c_j \end{align*}$$ Así hemos obtenido $c_j=v^j(x)$ para cualquier j. Sustituyendo esto en la combinación lineal de x, tenemos $x=\sum^n_{i=1}v^i(x)v_i-(*)$ .
Entonces cualquier $\sigma \in V^\ast$ tomemos una acción $\sigma$ en ambos lados de $equ^n-(*)$ $$\begin{align*} \sigma(x)=\sigma\left( \sum^n_{i=1}v^i(x)v_i \right) \end{align*}$$
Pero cómo deshacerse de la suma ahora. No tengo ni idea de cómo enfocar más allá. Además estoy confundido ¿voy en la dirección correcta? $?$ Se agradecerá cualquier pista o solución.
Gracias de antemano.

Answer 1

$\sigma (x)=\sigma( \sum\limits_{i=1}^{n} v^{i}(x)v_i)=\sum\limits_{i=1}^{n} v^{i}(x)\sigma (v_i)$ . Esto es cierto para todos los $x$ por lo que podemos escribir $\sigma =\sum\limits_{i=1}^{n} \sigma (v_i) v^{i}$ que es lo que se nos pide que probemos.

Answer 2

Hay $\alpha_1,..., \alpha_n \in k$ tal que $\sigma=\alpha_1v^1+...+\alpha_nv^n.$

Entonces obtenemos $\sigma(v_j)=\alpha_j$ .