Damos una prueba directa.
Como en el comentario anterior, definimos la medida de intensidad como $\mu(a,b] := \log F_X(b)-\log F_X(a)$ . Para demostrar la afirmación, basta con demostrar la convergencia de las funciones de Laplace asociadas, es decir, para todo $f \in C_c^{\infty}(\Bbb R)$ uno tiene
$$E\bigg[\exp\bigg({f\big(\frac{Y_i-a_n}{b_n}\big)\bigg)}\bigg]^n \;\;\;\stackrel{ n \to \infty}{\longrightarrow} \;\;\;\exp \bigg( \int_{\Bbb R} (e^{f(x)}-1)\mu(dx) \bigg).$$ Si $g$ es un $C^1$ función soportada en algún intervalo $[a,b]$ entonces, como consecuencia del teorema de Fubini, tenemos $E[g(X)] = \int_a^b g'(x) P(X \geq x) dx$ . Aplicando a $g:=e^f-1$ encontramos que $E[e^{f(X)}] = 1+\int_a^bf'(x)e^{f(x)}P(X \geq x)dx.$ Así que encontramos que \begin{align*} E\bigg[\exp\bigg({f\big(\frac{Y_i-a_n}{b_n}\big)\bigg)}\bigg] = 1+\int_a^b f'(x)e^{f(x)} \big( 1- F_Y(a_n x+b_n)) \big)dy \end{align*} donde $F_Y$ denota la fdc de la $Y_i$ . Por otro lado, la convergencia dada en la distribución de $\max Y_i$ implica que $F_Y(a_nx+b_n)$ se comporta asintóticamente como $F_X(x)^{1/n}$ que a su vez se comporta como $1+\frac{1}{n}\log F_X(x)+O(\frac{1}{n^2})$ . En consecuencia, encontramos que \begin{align} \lim_{n \to \infty} E\bigg[\exp\bigg({f\big(\frac{Y_i-a_n}{b_n}\big)\bigg)}\bigg]^n &= \lim_{n \to \infty} \bigg[ 1-\frac{1}{n} \int_a^b f'(x)e^{f(x)} \log F_X(x)dx \bigg]^n \\ &= \exp \bigg[ -\int_a^bf'(x) e^{f(x)} \log F_X(x) dx \bigg] \\ &= \exp \bigg[ \int_{\Bbb R} (e^{f(x)}-1) \mu(dx) \bigg] \end{align} donde de nuevo utilizamos el teorema de Fubini en la última línea.
