$((x/c)^n)$ no tiene subsecuencia convergente en C[a,b]

Question

Consideremos el espacio métrico C[a,b] dotado de la métrica $d(f,g)=max|f(x)-g(x)|$ . Me gustaría demostrar que la secuencia $((x/c)^n)$ no tiene ninguna subsecuencia convergente, siendo c una constante tal que $x/c \in [0,1] $ . Mi intento:

Supongamos que lo hace, entonces hay una función continua $f$ tal que una subsecuencia $((x/c)^{n_k})$ converge a ella. Entonces $((x/c)^{n_k})$ cauchy. Así, para todo $\epsilon \gt 0$ existe K tal que para cualquier $k_n, k_m \gt K$ , $d(f_{k_n},f_{k_m}) \lt \epsilon$ . Entonces $max_{x \in[a,b]}|x^{k_n}/c^{k_n}-x^{k_m}/c^{k_m}|\lt \epsilon$ . Me gustaría derivar una contradicción de esto, quizás utilizando el hecho de que $(x/c)^n$ no es uniformemente continua en los reales. Sin embargo, no sé cómo proceder.

Se agradece cualquier ayuda

Answer 1

Esto es falso. Tome $a=0,b=1$ . Si $c$ es lo suficientemente grande, entonces $\sup_x |\frac x c| <\frac 1 2$ por lo que toda la secuencia $(\frac x c)^{n}$ converge uniformemente a $0$ .

Si su pregunta es encontrar un $c$ tal que ninguna subsecuencia de $(\frac x c)^{n}$ converge uniformemente se puede hacer lo siguiente: supongamos que $0<a<b$ . tomar $c=b$ . Entonces $(\frac x c)^{n}$ converge a $0$ en cada punto $x \in [a,b)$ y a $1$ en $x=b$ . Como la función limitadora no es continua, se deduce que ninguna subsecuencia de $(\frac x c)^{n}$ converge uniformemente. Dejaré que te encargues de los demás casos.