10-gon como suma conectada de tori o plano proyectivo

Question

Se supone que debemos utilizar el corte y pegado para averiguar si una superficie dada es una suma conectada de toros o una suma conectada de $\mathbb{R}P^2$ . Ahora, hay una superficie con la que estoy atascado. Se trata de un 10-gón con aristas (a,b,c,d,e) y presentación: $abcdea^{-1}b^{-1}c^{-1}d^{-1}e^{-1}$ .

Conecto los pares opuestos cruzados y termino con $fgf^{-1}g^{-1}e^{-1}hjh^{-1}j^{-1}e$ . Pero según nuestro libro, esto no debería ocurrir si se identifican todos los puntos.

¿Alguien ve lo que está fallando aquí?

Answer 1

Eso es porque no todos los puntos están identificados. De hecho, están divididos en dos grupos de cinco, cada uno de los cuales está identificado como un punto distinto. Vea el diagrama de abajo y trate de perseguirlos.