Recientemente, he trabajado en la relación de las normas $\ell_{p}$ y $\ell_{\infty}$ . Esto me lleva a demostrar la siguiente desigualdad.
$$x + y \ge (x^r + y^r)^{1/r}, \quad (x,y) \in {(\mathbb R^+)}^2, \quad 1 \le r \in \mathbb R$$
¿Podría verificar si mi intento está bien o contiene lagunas/errores lógicos? Cualquier sugerencia será muy apreciada.
PS: Todavía no me he enterado de la derivación y su aplicación.
Mi intento:
Es fácil comprobar que la desigualdad anterior es equivalente a
$$(x + 1)^r \ge (x^r + 1), \quad 1 \le x,r \in \mathbb R$$
Para $1 \le r \in \mathbb R$ existe una secuencia $(r_i)_{i \in \mathbb N}$ que converge a $r$ y que $r_i \in \mathbb Q$ y $r_i \ge1$ para todos $i$ . Por lo tanto, basta con demostrar que
$$(x + 1)^{m/n} \ge (x^{m/n} + 1), \quad 1 \le x \in \mathbb R, \quad m,n \in \mathbb N, \quad n \le m$$
Una vez más, es fácil comprobar que la desigualdad anterior es equivalente a
$$(x^n + 1)^m \ge (x^m + 1)^n, \quad 1 \le x \in \mathbb R, \quad m,n \in \mathbb N, \quad n \le m$$
Demostramos la última desigualdad por inducción en $m$ . Es evidente que es válido para $m=n$ . Supongamos que se mantiene para algunos $m \ge n$ . Entonces $(x^n + 1)^m \ge (x^m + 1)^n$ . Tenemos
$$\begin{aligned}(x^n + 1)^{m+1} &= (x^n + 1)^m (x^n + 1) \\ &\ge (x^m + 1)^n (x^n + 1) \quad \text{by inductive hypothesis} \\ &= (x^{m+1} +x)^n + (x^m + 1)^n \\ & \ge (x^{m+1} +1)^n \quad \text{because}\ x \ge 1 \end{aligned}$$ Esto completa la prueba.
