Dejemos que $\omega_n$ sea una primitiva $n$ la raíz de la unidad y $\lambda_k$ sean números naturales.
Hace $\sum_{k=1}^{n} \lambda_k w_n^k =0$ implica $\lambda_1 = \lambda_2 = ... = \lambda_n $ ?
Soy consciente de este pregunta generalizada, pero soy incapaz de seguir las soluciones
Si $n=ab$ es $a,b>1$ y luego escribe:
$$p(x)=\frac{x^{n}-1}{x^a-1}=1+x^a+x^{2a}+\cdots + x^{(b-1)a}$$
Ahora, $w_n$ es una primitiva $n$ raíz de la unidad, por lo que no es una raíz de $x^a-1$ por lo que es una raíz de $p(x)$ .
Pero eso significa que, dados cualesquiera enteros positivos: $\lambda_0,\lambda_1,\dots,\lambda_{a-1}$ conseguimos que eso $p(x)(\lambda_0 + \lambda_1 x+\cdots+\lambda_{a-1}x^{a-1})$ es de grado $n-1$ y tiene raíz $w_n$ y coeficientes enteros positivos.
De forma más general, mira el Poylomios ciclotómicos , $\Phi_n$ . Son los polinomios mínimos para cada $w_n$ y $\Phi_n$ tiene grado $\phi(n)$ . Tienen coeficientes enteros, pero se pueden sumar para obtener números naturales.
Por ejemplo:
$$\Phi_{6}(x)=1-x+x^2$$
tiene raíz $w_6$ . A continuación, añada $2$ a cada coeficiente para $0$ à $5$ y tú lo consigues:
$$\Phi_6(x)+2\frac{x^6-1}{x-1} = 3+x+3x^2+2x^3+2x^4+2x^5$$
tiene $w_6$ como raíz.
Su regla sólo es válida cuando $n$ es primo. Esto se debe a que $\Phi_n(x)$ es el polinomio mínimo para $w_n$ y, cuando $n$ es primo, no es difícil demostrar que $\Phi_n(x)=1+x+\cdots+x^{n-1}$ lo que significa que cualquier polinomio que tenga $w_n$ como raíz debe ser divisible por $\Phi_n(x)$ . Se tiene (esencialmente) un polinomio de grado $n-1$ con raíz $w_n$ por lo que su polinomio debe ser un escalar que $\Phi_n(x)$ .
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