Si $\log_ax=3$ y $\log_bx=4$ Entonces, ¿qué es $\log_{ab}x$ ?

Question

Si $\log_ax=3$ y $\log_bx=4$ Entonces, ¿qué es $\log_{ab}x$ ?

Estoy seguro de que hay alguna regla logarítmica que me permita resolver esto en uno o dos pasos, pero como no estoy muy familiarizado con los logaritmos, he decidido utilizar la definición de logaritmos para convertirlos en ecuaciones exponenciales.

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Así que desde $\log_ax=3$ tenemos $$x=a^3$$ Del mismo modo, desde $\log_bx=4$ tenemos $$x=b^4$$ Luego multiplico esas dos ecuaciones juntas: $$\begin{align}x^2&=a^3b^4\\x^2&=(ab)^3\cdot b\\2\log_{ab}x&=3+\log_{ab}b\\\log_{ab}x&=\frac{3+\log_{ab}b}2\end{align}$$ El único problema ahora es el extra $\log_{ab}b$ término. Si puedo obtener el valor de eso, entonces resolveré el problema. Pero ahora mismo no consigo encontrar la forma de completar este problema. ¿Alguien puede aportar alguna idea sobre este problema? Gracias.

Answer 1

Como $\log_ab=\dfrac{\log b}{\log a}$ cuando todos los logaritmos permanecen definidos,

$$3=\log_ax=\dfrac{\log x}{\log a}\implies\log a=?$$

De la misma manera, $\log b=\dfrac{\log x}4$

$$\log_{ab}x=\dfrac{\log x}{\log a+\log b}$$

Sustituir los valores de $\log a,\log b$ en términos de $\log x$

Answer 2

$$\log_{ab} x = \frac{1}{\log_x ab} = \frac{1}{\log_x a + \log_x b} = \frac{1}{\frac{1}{\log_a x} + \frac{1}{\log_b x}} = \frac{1}{\frac{1}{3} + \frac{1}{4}} = \frac{12}{7}$$