Convergencia integral de Newton

Question

Por favor, tengo un problema. Supongo que es bastante fácil, sin embargo, realmente no veo qué debo hacer con él.

Debería decidir sobre la convergencia o divergencia de esta integral:

$$\int_0^\infty \frac{1}{e^{\sqrt{x}}-1}\:dx$$

No quiero encontrar la función primitiva de la integral indefinida, porque supongo que debería ser posible resolverla con el uso de alguna prueba de convergencia.

Es evidente que hay un problema con $x=0$ donde a función integrada $f(x)$ no es continua. Es continua en el resto del intervalo y además es positiva, por lo que podría compararla con alguna $g(x)$ que es más o igual a $f(x)$ pero creo que no es una buena idea en este caso cuando $\lim_{x \to 0} = \infty$ .

Tampoco veo cómo debería utilizar la prueba de límite, simplemente no veo con qué comparar.

Pero como he dicho, supongo que será muy fácil, pero no lo veo.

Muchas gracias por cualquier ayuda.

Answer 1

Una pista. El integrando es una función continua en $(0,\infty)$ Por lo tanto, los problemas potenciales están cerca $0$ y cerca de $\infty$ .

Como $x \to 0^+$ , usted tiene, por $b$ suficientemente cerca $0^+$ : $$ \int_0^b \frac{1}{e^{\sqrt{x}}-1}dx \sim \int_0^b \frac{1}{\sqrt{x}}dx $$ y la última integral es convergente.

Como $x \to +\infty$ , usted tiene, por $b$ suficientemente grande: $$ \int_b^\infty \frac{1}{e^{\sqrt{x}}-1}dx =2\int_\sqrt{b}^\infty \frac{u}{e^u-1}du <2\int_\sqrt{b}^\infty \frac{1}{u^2}du<+\infty \quad (e^u>u^3+1) $$ y la última integral es convergente.

Entonces su integral inicial es convergente .