Estoy tratando de entender la teoría de las estructuras cúbicas y estoy interesado en saber si un desconectado La variedad de grupo conmutativo cuya componente de identidad es una variedad semibeliana satisface el teorema del cubo.
Recordemos que si $X$ es una variedad abeliana y $L$ es un haz de líneas en $X$ que se rigidiza a lo largo de la sección de identidadn, entonces el Teorema del cubo implica que el haz de líneas
$$ \Theta(L) := m_{123}^{*}(L) \otimes m_{12}^{*}(L^{-1}) \otimes m_{13}^{*}(L^{-1}) m_{23}^{*}(L^{-1}) \otimes m_{1}^{*}(L) \otimes m_{2}^{*}(L) \otimes m_{3}^{*}(L) $$
admite una trivialización única que hace que
$$ \Lambda(L) := m^{*}(L) \otimes p_1^{*}(L^{-1}) \otimes p_{2}^{*}(L^{-1}) $$
en una biextensión simétrica de $X \times X$ por $\mathbb{G}_{m}$ .
Aquí $m$ denota el mapa de multiplicación, $p_i$ los mapas de proyección, y $m_{\underline{i}}$ el morfismo $X \times X \times X \to X$ dado por la suma de los coordenadas cuyos índices están en $\underline{i}$ .
En términos más generales, Breen demostró que este hecho sigue siendo cierto cuando $X$ es una variedad semiabeliana.
¿Sigue siendo cierta esta afirmación si permitimos $X$ para tener un grupo de componentes no triviales?
Si no es así, cuál es un ejemplo de haz de líneas rigidificado que no tenga estructura cúbica canónica.
¿Sigue siendo válido el teorema que rigidizas a lo largo de $1$ punto fijo en cada componente (más bien a lo largo del elemento de identidad)?
Añadido Como señala BCnrd, sobre una base más general las fórmulas deberían modificarse añadiendo el término $0^{*}(L^{\otimes \pm 1})$ que debe ser considerado como $m_{\emptyset}^{*}(L^{\otimes \pm 1})$ . Este haz de líneas (rígido) es trivial cuando la base es un campo, pero no en general.
