Demostrar la ecuación por inducción

Question

Demostrar por inducción que para todo número natural $n\in\mathbb{N}$ y todo número real $x\in\mathbb{R}$ :

$$(1+x)(1+x^2)(1+x^4)\cdot\,\dots\,\cdot(1+x^{2^{n-1}}) = 1 +x +x^2+\dots+(x^{2^n-1})$$

Probé para $n=1$ pero no sé cómo continuar con $(n+1)$

GRACIAS

Answer 1

Creo que has cometido algún error en la fórmula. Probamos $$(1+x)(1+x^2)\cdots (1+x^{2^{n-1}}) = 1+x+x^2+x^3+\cdots + x^{2^n-1}.$$ Para $n=1$ obtenemos $x+1=x+1$ que se mantiene.

Supongamos que la afirmación es válida para $n$ . Demostramos que se cumple para $n+1$ . Así que tenemos $$(1+x)(1+x^2)\cdots(1+x^{2^{n-1}})(1+x^{2^{n}}) = (1+x+\cdots +x^{2^n-1})(1+x^{2^{n}}),$$ por nuestro supuesto de inducción. Pero $$(1+x+\cdots +x^{2^n-1})(1+x^{2^{n}})=1+x+\cdots +x^{2^n-1} + x^{2^n}+x^{2^n+1} \cdots + x^{2^n+2^{n-1}}=1+x+\cdots+x^{2^{n+1}-1},$$ probando la afirmación.

Answer 2

No puedo resistirme a mostrar una prueba no puramente inductiva. Denotemos $$ P=(1+x)(1+x^2)\cdot\ldots\cdot(1+x^{2^{n-1}}) $$ Tenga en cuenta que $$ \begin{align} (1-x)P&=(1-x)(1+x)(1+x^2)(1+x^4)\cdot\ldots\cdot(1+x^{2^{n-1}})\\ &=(1-x^2)(1+x^2)(1+x^4)\cdot\ldots\cdot(1+x^{2^{n-1}})\\ &=(1-x^4)(1+x^4)\cdot\ldots\cdot(1+x^{2^{n-1}})\\ &=\ldots\\ &=(1-x^{2^{n-1}})(1+x^{2^{n-1}})\\ &=1-x^{2^n} \end{align} $$ Por lo tanto, $$ P=\frac{1-x^{2^n}}{1-x}=1+x+x^2+\ldots+x^{2^n-1} $$

Answer 3

Aquí hay una prueba que no parece emplear la inducción sino que utiliza la unicidad de la representación binaria de los enteros no negativos (que puede utilizar la inducción).

Dejemos que $0\le m\lt2^n$ entonces sólo hay una manera de conseguir $x^m$ del producto $$ (1+x)(1+x^2)(1+x^4)\dots(1+x^{2^{n-1}}) $$ es decir, eligiendo $x^{2^k}$ en los factores donde el bit $k$ es $1$ en la representación binaria de $m$ y elegir $1$ en los factores donde el bit $k$ es $0$ . Todos los coeficientes de los factores son $1$ por lo que el coeficiente de $x^m$ en el producto es $1$ .

Por lo tanto, $$ (1+x)(1+x^2)(1+x^4)\dots(1+x^{2^{n-1}})=1+x+x^2+x^3+\dots+x^{2^n-1} $$