Las integrales de contorno son integrales de funciones de valor complejo sobre un contorno de números complejos en el plano complejo $\Bbb C$ mientras que las integrales de línea son integrales de funciones escalares o vectoriales sobre una curva en $n$ -espacio dimensional $\Bbb R^n$ .
Si quieres entender las integrales de contorno, es imprescindible conocer los números complejos, así que asegúrate de estar familiarizado con ellos. Hay una diferencia muy importante y especial entre $\Bbb R$ y $\Bbb C$ que se produce muy pronto al aprender el análisis complejo.
Con funciones reales $\Bbb R\to\Bbb R$ que tiene una derivada
$$f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h} $$
significa que se llama diferenciable. La clase de funciones continuas es $C^0$ y la subclase más pequeña de funciones diferenciables es $C^1$ . Una propiedad más fuerte sigue siendo dos veces -diferenciable, lo que significa estar en $C^2$ . En efecto, para todo número natural $n$ la clase $C^{n+1}$ está estrictamente contenida dentro de $C^n$ . La intersección $C^\infty$ es la clase de suave funciones, aquellas que son infinitamente diferenciables. Una propiedad estrictamente más fuerte que $C^\infty$ es real-analítica , lo que significa que admite una representación en serie de potencia localmente convergente. Estas son $C^\omega$ funciones.
Con funciones de valor complejo $f:\Bbb C\to\Bbb C$ la derivada $f'(z)$ se define por el mismo límite que antes pero con $h\to0$ que ocurren dentro de $\Bbb C$ (por lo que en particular puede acercarse a $0$ en el plano complejo desde cualquier dirección). Si $f'(z)$ existe decimos $f$ es diferencialmente complejo. El hecho especial aquí es que si $f$ es una vez diferenciable de forma compleja, entonces es infinitamente diferenciable, y además también es analítica compleja (ahora "localmente" significa en una vecindad de un punto en el plano complejo, en lugar de una vecindad en la línea real). Como esto es tan especial, tenemos una palabra especial para ser complejo-diferenciable/analítico, que es holomorfo .
En el cálculo de variables reales, tenemos una regla de sustitución que nos dice que
$$\int_{u=u(a)}^{u=u(b)}f(u)\,{\rm d}u=\int_a^b f(u(t))u'(t)\,{\rm d}t.$$
Esto es cierto incluso si $u:[a,b]\to[u(a),u(b)]$ no es inyectiva y en algunas partes "retrocede". Esto indica la independencia del camino (y también la orientación de los intervalos, ya que aunque $a<b$ podríamos tener $u(b)<u(a)$ si $u$ invierte la orientación).
Análogamente, dada una trayectoria diferenciable $\gamma:[0,1]\to\Bbb C$ la integral de la trayectoria $\int_\gamma f(z)\,{\rm d}z$ se define como
$$\int_\gamma f(z)\,{\rm d}z=\int_0^1f(\gamma(t))\gamma'(t)\,{\rm d}t.$$
Tenga en cuenta que $\gamma$ es de valor complejo. Si en cambio hacemos $\gamma$ diferenciable a trozos, entonces tendríamos que dividir esta definición en trozos según convenga.
Una prueba de esta cantidad es independiente de cómo se utiliza $\gamma$ para parametrizar una curva $\gamma([0,1])$ si $f$ es holomorfo. Además, si $D$ es un dominio simplemente conectado en el que $f$ es holomorfo, entonces $\int_\gamma f(z)\,{\rm d}z$ es el mismo para todos los caminos $\gamma$ entre dos puntos dados que permanecen enteramente dentro de $D$ . En particular, si $\gamma$ es un bucle desde un punto hasta sí mismo, utilizamos la notación $\oint_\gamma f(z)\,{\rm d}z$ y es $0$ .
Si $D$ es no simplemente conectado (si tiene bucles que no se pueden contraer a un punto dentro de $D$ como una región anular o cualquier dominio simplemente conectado con puntos eliminados de él) entonces esto no es cierto, por ejemplo $\frac{1}{z}$ no se define en $0$ y $\oint_\gamma \frac{1}{z}\,{\rm d}z=2\pi i$ si $\gamma$ es un bucle que da una vuelta a $0$ en el sentido contrario a las agujas del reloj. Esto se debe a que $\log z$ va de $0$ a $2\pi i$ al rodear el círculo unitario desde $1$ a sí mismo en sentido contrario a las agujas del reloj.
Para evaluar las integrales de contorno $\oint_\gamma f(z)\,{\rm d}z$ se utiliza el "cálculo de residuos", que forma parte de la rama de las matemáticas denominada análisis complejo (algunas fuentes lo llaman variables complejas también). Para aprender más, tendrás que conseguir un texto, o tomar una clase, o buscar en Google notas y vídeos dispersos sobre el análisis complejo (ciertamente es posible aprender de forma gratuita en línea).
