¿Cómo puedo encontrar este derivado?

Question

Necesito encontrar la derivada de esto $[f(x)]^{g(x)}$ ¿Qué regla de diferenciación utilizo? No creo que la regla de la potencia sea aplicable en este caso.

Answer 1

Bueno, los logaritmos son útiles. $$h(x)=f(x)^{g(x)}$$ $$\ln(h(x))=g(x)\ln(f(x))$$ Ahora podemos utilizar la regla de la cadena y la regla del producto. $$h'(x)\frac{1}{h(x)}=\frac{g(x)f'(x)}{f(x)}+g'(x)\ln{f(x)}$$ $$h'(x)=f(x)^{g(x)}\bigg(\frac{g(x)f'(x)}{f(x)}+g'(x)\ln{f(x)}\bigg)$$

Answer 2

Dejemos que $y=f^g$ . Por la regla de la cadena multivariable, tenemos...

$$\begin{align}\frac{dy}{dx}&=\frac{\partial y}{\partial f}\frac{df}{dx}+\frac{\partial y}{\partial g}\frac{dg}{dx}\\&=gf^{g-1}f'+\ln(f)f^gg'\\&=f(x)^{g(x)}\left(\frac{g(x)f'(x)}{f(x)}+\ln(f(x))g'(x)\right)\end{align}$$