Estoy leyendo un libro sobre teoría de nudos y tengo una pregunta sobre cómo etiquetar un nudo. La imagen de arriba es capturado en el libro que leí.Para cada nudo son nudos trébol presentado por el grupo S3 y S4.Pero no sé cómo el nudo se puede mostrar como S4,con 4 cruz se etiqueta(Pero un nudo trébol tienen 3 cruces solamente)
Respuesta
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Kyle Miller
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Los arcos son lo que se está etiquetando. En la figura de la izquierda, $(2\ 3)$ debería ser la etiqueta del arco de la "S" central.
(Para el contexto: las etiquetas están dando un homomorfismo $\pi_1(S^3-K)\to S_n$ con respecto a la presentación de Wirtinger. Esto significa que las etiquetas de los arcos que rodean un cruce deben satisfacer la relación correspondiente. Por ejemplo, el cruce superior de la figura de la izquierda satisface $(1\ 2)(1\ 3)=(1\ 3)(2\ 3)$ .)
De alguna manera encontré el libro del que proviene la figura (Knot Theory de Charles Livingston). Parece que la figura ha sido corregida en la edición que estoy viendo.
El libro no parece tener una explicación de cómo encontraron los etiquetados. Una mirada rápida a la literatura sugiere que la búsqueda de mapas $\pi_1(S^3-K)\to S_n$ es algo difícil en general.
El nudo trébol tiene un grupo fundamental isomorfo a $\langle a,b|a^2=b^3\rangle$ . Existe un homomorfismo directo a $S_3$ enviando $a\mapsto (1\ 2)$ y $b\mapsto (1\ 2\ 3)$ . No lo he comprobado, pero es posible que algo así dé el etiquetado del diagrama de la izquierda. (No entiendo lo que quieres decir sobre que el etiquetado proviene del hecho de que el diagrama tiene tres cruces). Otra forma de obtener esta coloración es utilizando el isomorfismo entre $S^3$ y el grupo diédrico, entonces usando un Dehn $3$ -coloración para colorear el trébol con transposiciones.
Un mapa para $S_4$ puede obtenerse, por ejemplo, utilizando $a\mapsto (1\ 2)$ y $b\mapsto (2\ 3\ 4)$ . No sé cómo encontraron el etiquetado dado en particular, aunque parece importante para un teorema posterior que los elementos sean todos de la misma clase de conjugación.
