¿Cuál sería la forma general de la ecuación de Lagrange cuando en lugar de un campo escalar tenemos un potencial vectorial? ¿alguien ha derivado la ecuación de klein gordon para un potencial vectorial lagrangiano correspondiente?
Respuesta
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AdrieanKhisbe
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Sí, partiendo de una densidad lagrangiana de la forma $$ \mathcal L = -1/4 F_{\mu\nu} F^{\mu\nu} + m^2 A_\mu A^\mu $$ se puede encontrar la llamada ecuación de Proca de Euler-Lagrange, $$ \partial_\mu F^{\mu\nu} + m^2 A^\nu = 0 $$ Si el campo no tiene masa, se puede elegir la galga de Lorenz, $\partial_\mu A^\mu =0$ . Si el campo es masivo, $\partial_\mu A^\mu =0$ se desprende de la aplicación de $\partial_\nu$ desde el lado izquierdo. En ambos casos, se encuentra que la ecuación de Proca es equivalente a la ecuación de Klein-Gordon, $$ (\partial^2 + m^2 )A^\mu =0 $$ Si el campo no tiene masa, encontramos las ecuaciones de Maxwell en forma covariante.
