Teoremas de punto fijo

Question

Es sorprendente que los teoremas de punto fijo (FPT) aparezcan en tantos contextos diferentes a lo largo de las matemáticas: La aplicación del FPT de Kakutani le valió a Nash un premio Nobel; conozco algunos usos en lógica; y, por supuesto, todo el mundo debería conocer Teorema de Picard en las ODE. También hay resultados sobre la estructura local y global de los propios puntos fijos, y bastantes conjeturas famosas (también etiquetadas como FP T a efectos de esta pregunta).

Muchos resultados están tan lejos de mi campo que estoy seguro de que hay un montón de FPT por ahí que nunca he encontrado. Conozco varios, y los publicaré más tarde si no se me adelantan :)

Se aplican las normas de la wiki comunitaria. Un FPT por respuesta, preferiblemente con una lista inspiradora de aplicaciones interesantes.

Answer 1

El Teorema del punto fijo de Nielsen da un límite inferior al número de puntos fijos de cualquier mapa homotópico a un mapa fijo en términos del número de Nielsen. Para superficies cerradas, los homeomorfismos de pseudo-Anosov realizan el número de Nielsen en una clase de mapeo dada.

Answer 2

Existe un célebre teorema del punto fijo de A. Borel con aplicaciones a la geometría algebraica (Ann. of Math. (1)64(1956)).

Answer 3

TEOREMA:   Dejemos que $n$ sea un número entero no negativo. Sea $X$ sea un espacio compacto de Hausdorff tal que $X\times I^n$ tiene la propiedad del punto fijo. Entonces, para cada continuo $f:X\times I^n\rightarrow X$ existe $x\in X$ tal que

$$\dim\{y\in I^n : f(x\ y)=x\}\ \ge\ n-\dim X$$

Answer 4

TEOREMA:   Dejemos que $n$ sea un número entero no negativo. Sea $X$ sea un ANR compacto de Hausdorff, y $f:X\times I^n\rightarrow X$ sea una cartografía continua. Supongamos que el número de Lefschetz de la cartografía inducida $f_0: x\mapsto f(x\ 0)$ de $X$ en sí mismo, no es igual a $0$ . Entonces existe $x\in X$ tal que

$$\dim\{y\in I^n : f(x\ y) = y\}\ \ge\ n-\dim X$$

Answer 5

Teorema del punto fijo de Veblen Un mapa $f$ de la clase de ordinales a sí misma se llama normal si es estrictamente creciente y continua, es decir

1- $\alpha<\beta$ implica $f(\alpha)<f(\beta)$ .

2- para cualquier ordinal límite $f(\lambda)=sup\{f(\alpha):\ \alpha<\lambda\}$ .

Cualquier mapeo normal de la clase de ordinales tiene punto fijo y el conjunto de puntos fijos es sin límites .