Teoremas de punto fijo

Question

Es sorprendente que los teoremas de punto fijo (FPT) aparezcan en tantos contextos diferentes a lo largo de las matemáticas: La aplicación del FPT de Kakutani le valió a Nash un premio Nobel; conozco algunos usos en lógica; y, por supuesto, todo el mundo debería conocer Teorema de Picard en las ODE. También hay resultados sobre la estructura local y global de los propios puntos fijos, y bastantes conjeturas famosas (también etiquetadas como FP T a efectos de esta pregunta).

Muchos resultados están tan lejos de mi campo que estoy seguro de que hay un montón de FPT por ahí que nunca he encontrado. Conozco varios, y los publicaré más tarde si no se me adelantan :)

Se aplican las normas de la wiki comunitaria. Un FPT por respuesta, preferiblemente con una lista inspiradora de aplicaciones interesantes.

Answer 1

Me gusta mucho el siguiente resultado, que permite dejar de lado el supuesto habitual de compacidad.

Teorema de Okhezin : Para un poliedro $K$ y un mapa continuo $f\colon K\to K$ al menos una de las siguientes condiciones es verdadera:

• $f$ tiene un punto fijo;
• $f$ no es nullhomotopic;
• $K$ contiene un subconjunto cerrado homeomorfo a $[0,\infty)$ (a rayo cerrado ).

Desde $[0,\infty)$ es un retracto absoluto sin propiedad de punto fijo, ningún poliedro que lo contenga como subconjunto cerrado tiene la propiedad de punto fijo. Esto da el siguiente corolario.

Corolario (Okhezin): Un poliedro contráctil tiene la propiedad del punto fijo si y sólo si es sin rayo es decir, no contiene ningún subconjunto cerrado homeomorfo a $[0,\infty)$ .

Okhezin no se percató de ello, pero el siguiente resultado más fuerte está implícito.

Corolario: Un poliedro acíclico tiene la propiedad del punto fijo si y sólo si no tiene rayo.

Prueba: Como ya se ha dicho, la parte "sólo si" es obvia. Para la parte "si", dejemos que $f\colon K\to K$ sea un auto-mapa de un poliedro acíclico sin rayas. La suspensión $SK$ es un contratable , poliedro sin rayo. Así, por los resultados de Okhezin, el mapa $\tilde{f}\colon SK\to SK$ que se extiende $f$ e intercambia los dos conos añadidos tiene un punto fijo, que también debe ser un punto fijo de $f$ .

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Okhezin también demostró algunos teoremas de punto fijo que se aplican a otras clases de espacios sin rayo, incluidos algunos resultados de tipo Lefschetz.

Answer 2

El teorema del punto fijo de Caristi es una generalización del teorema del punto fijo de Banach.

Teorema . Sea $(X, d)$ sea un espacio métrico completo. Sea $T : X \rightarrow X$ y $f : X → [0, +∞)$ sea una función semicontinua inferior de $X$ en los números reales no negativos. Supongamos que, para todos los puntos $x$ en $X$ ,

$$d \big( x, T(x) \big) \leq f(x) - f \big( T(x) \big).$$

Entonces $T$ tiene un punto fijo en $X$ .

Tome $f(x) = \sum_{k \in N} d(T^{k+1}(x),T^{k}(x))$ para recuperar el teorema del punto fijo de Banach.

Answer 3

Sería una pena no mencionar el trabajo de F. Browder, en particular su estudio de las pde no lineales, siendo la herramienta principal las FPT en espacios de Banach. Esto está documentado en muchas de sus publicaciones, quizás la más memorable en su "Nonlinear operators and nonlinear equations of evolution".

Answer 4

Dejemos que $p:E\rightarrow B$ ( $B$ es localmente conectada por el camino) sea un mapa de cobertura, entonces todo isomorfismo $h:E\rightarrow E$ (isomorfismo entre espacios de cobertura)se llama automorfismo y el conjunto de automorfismos de $E$ en relación con $p$ tiene una estructura de grupo y se muestra con $A(E,p)$ ,ahora si $f\in A(E,p)$ tiene un punto fijo entonces $f=I_{E}$ .

Answer 5

Dejemos que $X$ sea un espacio Hausdorff compacto no vacío, y $f\colon X\to X$ sea continua. Denotemos por $\mathcal P(X)$ el conjunto de poderes de $X$ . Entonces la función $f^+\colon\mathcal P(X)\to\mathcal P(X)$ definido por $f^+(A)=f[A]$ tiene un punto fijo $f^+(A)=A$ , donde $A\subseteq X$ es no vacío y cerrado.