Teoremas de punto fijo

Question

Es sorprendente que los teoremas de punto fijo (FPT) aparezcan en tantos contextos diferentes a lo largo de las matemáticas: La aplicación del FPT de Kakutani le valió a Nash un premio Nobel; conozco algunos usos en lógica; y, por supuesto, todo el mundo debería conocer Teorema de Picard en las ODE. También hay resultados sobre la estructura local y global de los propios puntos fijos, y bastantes conjeturas famosas (también etiquetadas como FP T a efectos de esta pregunta).

Muchos resultados están tan lejos de mi campo que estoy seguro de que hay un montón de FPT por ahí que nunca he encontrado. Conozco varios, y los publicaré más tarde si no se me adelantan :)

Se aplican las normas de la wiki comunitaria. Un FPT por respuesta, preferiblemente con una lista inspiradora de aplicaciones interesantes.

Answer 1

El Teorema del punto fijo aritmético (véase también MO/30874 ) establece que si $F$ es una fórmula en teoría de números con una sola variable libre $v$ entonces hay una frase $A$ tal que la teoría de los números puede demostrar $A \Leftrightarrow F_v(\underline{[A]})$ . Una aplicación inmediata es Teorema de Gödel .

Answer 2

Alexander Abian (1923-1999) demostró hacia 1998 el siguiente resultado que denominó "el teorema del punto fijo más fundamental". "Sea F un mapeo de un conjunto A hacia sí mismo. Sean G(x,0)=x, G(1,x)=F(x), G(2,x)= F(F(x)) los valores iterados de la función F para el argumento x en A. Entonces F tiene un punto fijo si y sólo si existe un elemento x de A tal que, para todo ordinal v, G(v,x) es un elemento de A y si G(v) no es un punto fijo de A entonces G(u,x) son todos elementos distintos de A para u∈v". Los detalles se pueden encontrar en http://us2.metamath.org:88//abianfp.html Gérard Lang

Answer 3

El teorema principal de La teoría de Smith afirma que si un $p$ -grupo $G$ actúa sobre un mod- $p$ -espacio acíclico $X$ (que también debe ser "finitista", una condición bastante débil), entonces el conjunto de puntos fijos $X^G$ también es mod- $p$ acíclica; en particular, no es vacía.

Esto es especialmente útil porque $X$ no se supone que sea compacto, como es el caso del teorema del punto fijo de Lefschetz, por ejemplo.

Answer 4

Me gusta mucho el siguiente resultado, que permite dejar de lado el supuesto habitual de compacidad.

Teorema de Okhezin : Para un poliedro $K$ y un mapa continuo $f\colon K\to K$ al menos una de las siguientes condiciones es verdadera:

• $f$ tiene un punto fijo;
• $f$ no es nullhomotopic;
• $K$ contiene un subconjunto cerrado homeomorfo a $[0,\infty)$ (a rayo cerrado ).

Desde $[0,\infty)$ es un retracto absoluto sin propiedad de punto fijo, ningún poliedro que lo contenga como subconjunto cerrado tiene la propiedad de punto fijo. Esto da el siguiente corolario.

Corolario (Okhezin): Un poliedro contráctil tiene la propiedad del punto fijo si y sólo si es sin rayo es decir, no contiene ningún subconjunto cerrado homeomorfo a $[0,\infty)$ .

Okhezin no se percató de ello, pero el siguiente resultado más fuerte está implícito.

Corolario: Un poliedro acíclico tiene la propiedad del punto fijo si y sólo si no tiene rayo.

Prueba: Como ya se ha dicho, la parte "sólo si" es obvia. Para la parte "si", dejemos que $f\colon K\to K$ sea un auto-mapa de un poliedro acíclico sin rayas. La suspensión $SK$ es un contratable , poliedro sin rayo. Así, por los resultados de Okhezin, el mapa $\tilde{f}\colon SK\to SK$ que se extiende $f$ e intercambia los dos conos añadidos tiene un punto fijo, que también debe ser un punto fijo de $f$ .

---

Okhezin también demostró algunos teoremas de punto fijo que se aplican a otras clases de espacios sin rayo, incluidos algunos resultados de tipo Lefschetz.

Answer 5

Otra, de MR0151632 Michel Hervé: Varias variables complejas. Teoría local. Publicado para el Tata Institute of Fundamental Research, Bombay por Oxford University Press, Londres 1963 vii+134 pp.

Dejemos que $G$ sea un conjunto abierto y conexo del espacio afín $X$ . Si la imagen $f(G)$ bajo un mapa holomórfico $f: G \to G$ es relativamente compacto en $G$ entonces $f$ tiene un único punto fijo.

La prueba utiliza el teorema de Montel y el hecho de que todo subconjunto analítico y compacto de un espacio afín debe ser finito.